274
Physique des systèmes complexes
f div(ÏJ)dV = f ÏJ.ds = f ÏJ.ds + f ÏJ.ds + f ÏJ.ds = f pdV = Q
V
S fermée
S1
S2
E
V
Le volume V d'intégration est limité par la surface fermée S1 située dans le milieu
de permittivité relative &1, la surface S2 située dans le milieu 2 et la surface latérale
Ireliant les surfaces S1 et S2• Q est alors la charge totale située dans le volume V.
Si l'on fait tendre la surface Ivers zéro, l'équation précédente devient
f D1,ndS - f D1,ndS = Q ~ D1,nS - D1,nS = Q
SJ
S2
soit également
(4)
où a= Q/S est la densité superficielle de charge située à l'interface, D1.n et D2,n
étant les composantes normales du vecteur déplacement. Dans le cas où il n'existe
aucune charge superficielle sur le dioptre, les composantes normales du vecteur
déplacement sont continues à la traversés du dioptre. Mais, même dans ce cas,
l'équation (4) implique la discontinuité de la composante normale du champ électrique pour lequel
(5)
c) En utilisant le même développement que pour la composante normale du
champ de déplacement, l'équation de Maxwell div(Ë) = 0 implique directement la
continuité de la composante normale de l'induction magnétique à la traversée du
dioptre
(6)
d) L'équation de continuité de la composante tangentielle du champ magnétique
est obtenue à l'aide de l'équation de Maxwell ;;i( H) = ] + 8ÏJ / 8t . En effet
SABCD
CABCD
f -- s--a s-- 0 s
H.dl =
DdS=l+8t
a1
SABCD
SABCD
SABCD
ÏJds
f
;;i(il)ds =
où I est le courant particulaire traversant la surface SABCD· Si l'on fait tendre les
côtés BC et CD du circuit orienté ABCD l'équation précédente devient
f iI.dÏ + f iI.dÏ = Is
AB
CD
Puisque les segments AB et CD ont la même longueur L mais des directions opposées, il vient après intégration
(7)
où nous avons introduit la densité superficielle de courant ainsi que les vecteurs
unitaires normaux et tangentiels n et Ï . En absence de courant superficiel,
l'équation (7) indique la continuité de la composante tangentielle du vecteur exci-