VII. Electromagnétisme des milieux matériels
A - ' B
1
"' I
D ·--------~ C
Figure 7.
---- -----1
'-----~--------' 1
t S2
273
a) L'équation de Maxwell concernant le champ électrique ~(Ë) = - ôB peut être
ôt
utilisée pour établir l'équation de passage de la composante tangentielle du champ
électrique. Calculons pour cela
f ~ - ô f
rot(E)dS = - -
ôt
SABCD
SABCD
Ëds
(1)
où la surface SABCD à travers laquelle on calcule le flux est limitée par la courbe
orientée ABCD dont le segment AB se situe dans le milieu d'indice n1 et le segment CD dans le milieu d'indice ni. Transformant l'intégrale de gauche de
l'équation ( 1) en intégrale curviligne, il vient
f ËdÏ = - : 1 f Ëds = f ËdÏ + f ËdÏ + f ËdÏ + f ËdÏ
CABCD
SABCD
AB
BC
CD
DA
Si l'on fait tendre la largeur des segments BC et DA vers zéro alors la surface
SABCD tend vers zéro ainsi que le flux de B à travers cette surface. Il reste donc
f ËdÏ + f ËdÏ = 0 = f E1,tdl + f E1,tdl
(2)
AB
CD
AB
CD
Dans cette dernière expression, E1,t et Ei.1 représentent les composantes tangentielles des champs électriques en des points infiniment voisins de la surface du dioptre mais respectivement situés dans le milieu d'indice n1 et dans le milieu d'indice
ni. Les segments AB et CD ayant la même longueur mais des sens opposés, la
relation (2) conduit à Ei,t IABI- E 2 ,t ICDI = 0, soit encore à
(3)
Cette dernière expression exprime la continuité de la composante tangentielle de
n'importe quel champ électrique à la traversée d'un dioptre.
b) L'équation de Maxwell div(D) = p peut être utilisée pour trouver l'équation de
passage de la composante normale du champ électrique. Calculons pour cela