VII. Electromagnétisme des milieux matériels
26 l
ff f (r.r')](r')d 3 r'= I ir[ f _!_d((r.r')r') + f _!_-;: x (ar'xr')] (3t)
V
T
Cy 2
Cy 2
La première intégrale est celle d'une différentielle totale. Elle vaut donc zéro sur
une boucle fermée. Il ne reste que
ff f (r.r')](r')d 3 r'= I ir f _!_-;: x (ar'xr')
V
T
Cy 2
(3g)
En réintroduisant l'expression de ir, nous trouvons finalement
Jff (r.r')](r')d 3 r'= I f _!_rx(J(r')dS'ar'xr') =
V
T Cy 2
= L Jff _!_rx(](r')xr')d 3 r'= Jff _!_[r'x](r')]xrd 3 r•
T Vr 2
V
2
(3h)
On définit le moment magnétique de la distribution de courant par
m = ff f r'x](r') d3r'
V
2
(4a)
Notons que ce résultat permet également de calculer le moment magnétique d'une
boucle de courant
m - = ffJ r'x](r') d 3 , .J: r'xar' -
r =zy --=iS
2
c 2
(4b)
Le potentiel vecteur créé à grande distance de la distribution peut alors s'écrire
Â(r) = µo mxr
41Z" r3
(5)
4.2. Moments magnétiques dans la matière
Au niveau atomique, les courants électriques sont issus des mouvements de chaque électron autour des noyaux ou le long des trajectoires qu'ils parcourent dans
un milieu matériel. Soit rj la position d'un des électrons à un moment donné. La
densité électronique vaut alors, en utilisant la fonction de distribution de Dirac
p(r) = e I o(r - -rj)
j
(1)
Chaque électron étant animé d'une vitesse v j = arj /dt, la densité de courant en
tout point r associé à Jeurs mouvements orbitaux est donnée par