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Physique des systèmes complexes
paramagnétiques), ou au contraire plus faibles (milieux diamagnétiques). L'objet
de ce paragraphe est de comprendre l'origine de ce type de comportement et de
modifier en conséquence les équations de Maxwell de façon à y inclure ces effets.
4.1. Le potentiel vecteur créé par les moments magnétiques
Le potentiel vecteur associé à une distribution de courant est donné par
(1)
En tout point r éloigné du volume V limitant la distribution de courant, on peut
approcher l'expression du potentiel vecteur à l'aide du développement §3.2-(2). Il
vient
A(r) = µo JJJ ](r')d 3 r'+ µ 0 3 JJJ (r.r')](r')d 3 r'
4JZr V
4JZr V
(2)
La première intégrale est nulle puisque les lignes de courant se referment sur elles-mêmes. La deuxième intégrale peut s'évaluer en décomposant la distribution
de courant en un ensemble de tubes de courant
JJJ (r.r')](r')d 3 r'= L JJJ (r.r')](r')d 3 r•
(3a)
V
T T
Pour chaque tube de courant, on a bien évidemment ](r')d 3 r'= ](r')dS'dr'. Or,
si dS' est la section droite du tube alors le vecteur ar' possède le même sens que
le vecteur J et l'on peut réécrire ](r')d 3 r'= ](r')dS'dr'= j(r')dS'ar'. Enfin
l'intensité constante qui parcourt chaque tube vaut simplement ir = j(r').dS' et
l'expression (3a) devient
JJJ (r.r')](r')d 3 r'= I ir J (r.r')ar'
(3b)
V
T
Cr
Or, r étant un vecteur constant, il vient
d[(r.r')r'] = (r.r')ar'+r'd(r.r') = (r.r')ar'+r'(rd.r')
(3c)
D'autre part
r x (ar'xr') = (r.r')ar'-r'(rar')
.3(d)
En additionnant les expressions (3c) et (3d), on obtient
(r.r')ar'= _!_d((r.r')r') + _!_r x(dr'xr')
2
2
(3e)
Introduisant cette expression dernière expression dans (3b), il vient