256
Physique des systèmes complexes
soit encore pour chaque composante du vecteur polarisation, en effectuant un développement en fonction des composantes du champ macroscopique
(9b)
où la convention de sommation d'Einstein (sommation sur les indices qui se répètent) a été utilisée.
La relation phénoménologique la plus générale entre le vecteur déplacement électrique et le champ électrique s'écrit sous la fonne
D=s(Ë).Ë
(IO)
où la réponse diélectrique est définie par un tenseur (milieux anisotropes) dont les
composantes pourraient être elles-mêmes fonction de Ë (milieux non linéaires).
3.5. Le problème du calcul du champ macroscopique
Dans ce qui précède, nous avons laissé entendre que le champ détenninant la polarisation induite sur chaque atome ou molécule d'un milieu diélectrique était le
champ total (le champ macroscopique) résultant de la somme du champ extérieur
et du champ induit par la répartition homogène des moments dipolaires :
- -
-
-
p
E = Eext + Eind = Eext - -
&o
(1)
Cependant, le champ induit Ë;nd = -P / &o a été détenniné en utilisant le tenne
dipolaire du développement en série des puissances de llr de la fonnule générale
exprimant le potentiel créé en tout point éloigné d'une distribution dipolaire de
charges. Or cette expression n'est rigoureusement valable que si l'on calcule le
champ induit à une distance suffisamment grande devant les dimensions de la
distribution. Dans la matière, deux situations peuvent se produire :
i) ou bien une molécule (ou un atome) n'est pas systématiquement située loin de
toute autre particule (milieux solides ou liquides). Dans un tel cas, à l'intérieur
d'un volume sphérique entourant une molécule particulière, le champ vrai Ev créé
par les molécules ne correspond pas au tenne dipolaire du développement multipolaire. Il convient alors de retrancher la contribution dipolaire Ev associée à tort
à la distribution continue de dipôles et de la remplacer par le champ exact Ev créé
par les molécules dipolaires proches de la molécule considérée,
ii) ou bien, il existe autour de chaque molécule un espace vide suffisamment
grand (gaz) pour que l'on puisse considérer que toutes les autres molécules sont
suffisamment éloignées et créent un champ confonne à celui que l'on déduit du
développement multipolaire. Cependant, le volume vide ne contribue pas au
champ total et il suffit de retrancher la contribution du champ Ev calculé à tort
dans ce volume.
Dans tous les cas, entourons une molécule particulière d'une sphère de volume V
et calculons le champ électrique créé par une telle sphère si elle était occupée par
une distribution dipolaire de densité P. On peut, pour effectuer ce calcul, considérer que la distribution dipolaire résulte de la séparation de charges positives de
Physique des systèmes complexes
soit encore pour chaque composante du vecteur polarisation, en effectuant un développement en fonction des composantes du champ macroscopique
(9b)
où la convention de sommation d'Einstein (sommation sur les indices qui se répètent) a été utilisée.
La relation phénoménologique la plus générale entre le vecteur déplacement électrique et le champ électrique s'écrit sous la fonne
D=s(Ë).Ë
(IO)
où la réponse diélectrique est définie par un tenseur (milieux anisotropes) dont les
composantes pourraient être elles-mêmes fonction de Ë (milieux non linéaires).
3.5. Le problème du calcul du champ macroscopique
Dans ce qui précède, nous avons laissé entendre que le champ détenninant la polarisation induite sur chaque atome ou molécule d'un milieu diélectrique était le
champ total (le champ macroscopique) résultant de la somme du champ extérieur
et du champ induit par la répartition homogène des moments dipolaires :
- -
-
-
p
E = Eext + Eind = Eext - -
&o
(1)
Cependant, le champ induit Ë;nd = -P / &o a été détenniné en utilisant le tenne
dipolaire du développement en série des puissances de llr de la fonnule générale
exprimant le potentiel créé en tout point éloigné d'une distribution dipolaire de
charges. Or cette expression n'est rigoureusement valable que si l'on calcule le
champ induit à une distance suffisamment grande devant les dimensions de la
distribution. Dans la matière, deux situations peuvent se produire :
i) ou bien une molécule (ou un atome) n'est pas systématiquement située loin de
toute autre particule (milieux solides ou liquides). Dans un tel cas, à l'intérieur
d'un volume sphérique entourant une molécule particulière, le champ vrai Ev créé
par les molécules ne correspond pas au tenne dipolaire du développement multipolaire. Il convient alors de retrancher la contribution dipolaire Ev associée à tort
à la distribution continue de dipôles et de la remplacer par le champ exact Ev créé
par les molécules dipolaires proches de la molécule considérée,
ii) ou bien, il existe autour de chaque molécule un espace vide suffisamment
grand (gaz) pour que l'on puisse considérer que toutes les autres molécules sont
suffisamment éloignées et créent un champ confonne à celui que l'on déduit du
développement multipolaire. Cependant, le volume vide ne contribue pas au
champ total et il suffit de retrancher la contribution du champ Ev calculé à tort
dans ce volume.
Dans tous les cas, entourons une molécule particulière d'une sphère de volume V
et calculons le champ électrique créé par une telle sphère si elle était occupée par
une distribution dipolaire de densité P. On peut, pour effectuer ce calcul, considérer que la distribution dipolaire résulte de la séparation de charges positives de