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Physique des systèmes complexes
statistiquement au moment dipolaire total que par sa projection sur la direction du
champ. La contribution moyenne de ce dipôle est donc donnée par
(p(rp)) = pcosrpAepEcosrpl KT
(4)
Pour obtenir la contribution de toutes les directions, il convient alors d'intégrer
sur toutes les directions accessibles à une molécule et définies par l'élément
d'intégration dQ. =sin qxlqxl(J où 0 < rp < JZ"et 0 < (J < 21l". D'autre part, la constante A est définie par la condition de normalisation exprimant que la probabilité
de trouver l'orientation d'un dipôle dans une configuration quelconque vaut 1 :
1 =A f P(rp)dD.
(5)
Introduisant la densité D de dipôles, la densité moyenne de moment dipolaire P
est enfin donnée par
f cos rp sin rpepE cos P=Dp~~~~~~~~f sin rpepEcosrp/ KT dqxl(J
(6)
L'intégration suivant (J est triviale. L'intégration suivant rp se fait en effectuant le
changement de variable cosrp = x, où x varie entre 1 et -1.0n trouve aisément
P = Dp( coth a - ~) = L( a)
(7)
avec a = pE /KT . La fonction L( a) est la fonction de Langevin. Dans le cas où a
est très petit devant 1 (cas des températures ordinaires), la fonction de Langevin
est approchée par la quantité L( a) = a/3. Dans ce cas, la densité dipolaire vaut
2
- Dp -
-
P=--E=e 0 xE
3KT
(8)
Cette expression, qui définit implicitement le coefficient de susceptibilité diélectrique x, montre que, dans le cas des températures ordinaires, la densité dipolaire
est directement proportionnelle au champ électrique total régnant dans le milieu
matériel. Par contre, la polarisation induite est inversement proportionnelle à la
température. Dans le cas où a serait très élevé (cas des températures très petites),
la fonction de Langevin tend vers 1 et la densité de polarisation devient indépendante du champ total et prend sa valeur maximum Dp correspondant l'alignement
parfait de tous les dipôles.
Polarisation électronique
Ce type de polarisation est issu du déplacement relatif du nuage électronique par
rapport au noyau de chaque atome. Il correspond tout particulièrement au cas des
isolants. Considérons, pour décrire cet effet, un modèle approché dans lequel un
atome est schématisé par une charge ponctuelle +Q (le noyau) situé au centre
d'une sphère de rayon a chargée négativement d'une charge volumique homogène
preprésentant le nuage électronique. La neutralité de l'atome implique
Physique des systèmes complexes
statistiquement au moment dipolaire total que par sa projection sur la direction du
champ. La contribution moyenne de ce dipôle est donc donnée par
(p(rp)) = pcosrpAepEcosrpl KT
(4)
Pour obtenir la contribution de toutes les directions, il convient alors d'intégrer
sur toutes les directions accessibles à une molécule et définies par l'élément
d'intégration dQ. =sin qxlqxl(J où 0 < rp < JZ"et 0 < (J < 21l". D'autre part, la constante A est définie par la condition de normalisation exprimant que la probabilité
de trouver l'orientation d'un dipôle dans une configuration quelconque vaut 1 :
1 =A f P(rp)dD.
(5)
Introduisant la densité D de dipôles, la densité moyenne de moment dipolaire P
est enfin donnée par
f cos rp sin rpepE cos P=Dp~~~~~~~~f sin rpepEcosrp/ KT dqxl(J
(6)
L'intégration suivant (J est triviale. L'intégration suivant rp se fait en effectuant le
changement de variable cosrp = x, où x varie entre 1 et -1.0n trouve aisément
P = Dp( coth a - ~) = L( a)
(7)
avec a = pE /KT . La fonction L( a) est la fonction de Langevin. Dans le cas où a
est très petit devant 1 (cas des températures ordinaires), la fonction de Langevin
est approchée par la quantité L( a) = a/3. Dans ce cas, la densité dipolaire vaut
2
- Dp -
-
P=--E=e 0 xE
3KT
(8)
Cette expression, qui définit implicitement le coefficient de susceptibilité diélectrique x, montre que, dans le cas des températures ordinaires, la densité dipolaire
est directement proportionnelle au champ électrique total régnant dans le milieu
matériel. Par contre, la polarisation induite est inversement proportionnelle à la
température. Dans le cas où a serait très élevé (cas des températures très petites),
la fonction de Langevin tend vers 1 et la densité de polarisation devient indépendante du champ total et prend sa valeur maximum Dp correspondant l'alignement
parfait de tous les dipôles.
Polarisation électronique
Ce type de polarisation est issu du déplacement relatif du nuage électronique par
rapport au noyau de chaque atome. Il correspond tout particulièrement au cas des
isolants. Considérons, pour décrire cet effet, un modèle approché dans lequel un
atome est schématisé par une charge ponctuelle +Q (le noyau) situé au centre
d'une sphère de rayon a chargée négativement d'une charge volumique homogène
preprésentant le nuage électronique. La neutralité de l'atome implique