VII. Electromagnétisme des milieux matériels
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Considérons (voir figure 5) une distribution quelconque de charges limitée par un
volume V et caractérisée en tout point r' de ce volume par la charge volumique
p(r').
Figure 5.
Le potentiel V(r) créé en tout point r par cette répartition de charge est donné par
(1)
Pour toute distance r grande devant les dimensions de la distribution, on peut effectuer un développement limité du dénominateur intervenant dans l'intégrale en
fonction des puissances de r 'Ir. Il vient
[
)
-1/2
1/2
,2
--·
l -((- _')(- -•))-112_{2
12 2 --·)_1 1 r
2 r.r
- - - r - r . r - r
- \" + r - r.r
- - +- - -
Ir -r'I
r
r2
r2
Si l'on s'en tient au premier ordre en r'/ r, il vient
_1 _ = .!.( 1 + r.r')
lr-r'I r r 2
En introduisant ce résultat dans (1), on obtient ainsi
(2)
V(r) =- 1 -f p(r')d 3 r'+ r 3 f p(r')r'd 3 r'+...
(3)
4Jr&or v
4Jreor v
La première intégrale représente la charge totale comprise dans le volume V
Q = f p(r')d 3 r'
V
qui crée à grande distance un potentiel de la forme
V(r) =__JL_
4Jre 0 r
(4a)
(4b)