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Physique des systèmes complexes
U=eE=_Sl__
Seo
Cette dernière expression donne la relation cherchée entre Q et U et conduit à
l'expression de la capacité
Le condensateur cylindrique
C= coS
e
(2)
Celui-ci est constitué d'un cylindre plein de rayon a entouré d'un cylindre creux
coaxial de rayon intérieur b. Supposons que, sous l'effet d'une différence de potentiel U appliquée entre les deux armatures, il apparaisse une charge +Q sur le
cylindre intérieur et une charge -Q sur la surface interne du cylindre extérieur. En
appliquant le théorème de Gauss, on en déduit que le champ électrique entre a et b
est donné par
E2trph = _g_ ~ E(p) = Q
co
2trcohP
La circulation de ce champ entre les deux armatures correspond à la différence de
potentiel U qui vaut
U =-Q-log(b/a)
2trc 0 h
Cette dernière expression fournit la relation cherchée entre la charge Q et la différence de potentiel U conduisant à la capacité du condensateur cylindrique
c = 2trc0h
log(b/ a)
(3)
Remarquons que si l'on pose b = a+e où e est très petit devant a, alors
log(bla)=log(l+ela)~e/a. Ainsi, en introduisant ce résultat dans (3), on
retrouve avec 2 trah = S la formule du condensateur plan.
Le condensateur sphérique
Celui-ci est constitué d'une sphère interne de rayon a et d'une sphère externe
concentrique de rayon intérieur b. Supposons qu'une charge Q apparaisse sur la
sphère intérieure sous l'effet de l'application d'une différence de potentiel U entre
les deux armatures. En appliquant le théorème de Gauss, on trouve qu'entre les
deux armatures apparaît un champ radial donné par
E(r) =
Q 2
4trc 0 r
La circulation de ce champ correspond à la différence de potentiel U donnée par
b
Q (1 1)
U= f Edr=- - - -
4trco a b
a