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Physique des systèmes complexes
AV(r)=-p(r)
(l)
co
Supposons que, pour une distribution donnée de charges limitée dans l'espace, il
existe deux solutions différentes Vi(r) et Vi(r) du potentiel. La différence V(r) =
Vi(r)-V2(r) vérifie en tout point l'équation de Poisson
AV=O
(2)
Il s'agit ici, de trouver quel potentiel V(r) peut exister en absence de toute distribution de charge dans l'espace. Ce potentiel ne peut être qu'une constante sans
aucune signification physique. D'autre part, la distribution de charge p(r) est limitée dans l'espace. Aussi, les potentiels Vi(r) et Vi(r) tendent-ils tous deux vers
zéro lorsque r tend vers l'infini. Leur différence V(r) est donc nulle à l'infini et
par conséquent nulle partout puisque V est une constante. Ainsi, en tout point de
l'espace Vi(r) = Vi(r) et ceci démontre qu'il n'existe qu'une seule solution de
l'équation de Poisson pour une distribution de charge donnée.
Les coefficients d'influence
Considérons un conducteur A porté à un potentiel VA et un conducteur B, isolé,
situé initialement à l'infini du conducteur A. La charge totale portée par le
conducteur A est proportionnelle au potentiel VA, soit encore: QA = CAAVA. Par
contre, le conducteur B, isolé et situé à l'infini ne porte aucune charge, soit encore
Qs = O. Si maintenant nous approchons le conducteur B du conducteur A, celui-ci
sera alors placé dans le champ électrique créé par la charge QA et il apparaîtra une
densité superficielle de charge as de façon à annuler en tout point de son volume
le champ électrique créé par le conducteur A. Bien évidemment la charge totale
portée par B reste globalement neutre puisque B est isolé. Cette nouvelle répartition de charges à la surface du conducteur B crée en retour un potentiel et un
champ électrique en tout point de l'espace qui modifiera également la charge totale du conducteur A, de façon à ce que le champ soit toujours nul en tout point de
A. En particulier, il apparaît au sein de Bun potentiel non nul.
Si maintenant on impose au conducteur B le potentiel zéro (en le reliant à la terre
par exemple, alors il y aura écoulement de charges entre le conducteur B et la terre
qui conduira à l'équilibre à une charge Qs. Compte tenu du théorème d'unicité,
cette charge Qs est complètement définie par le potentiel VA et Vs = 0 et s'écrit
donc
(l)
Si maintenant, on porte le conducteur B au potentiel Vs, sa charge globale sera,
compte tenu du principe de superposition, définie par
(2)
Bien évidemment, cette situation est totalement symétrique et la charge portée par
le conducteur A sera donnée par
(3)
Physique des systèmes complexes
AV(r)=-p(r)
(l)
co
Supposons que, pour une distribution donnée de charges limitée dans l'espace, il
existe deux solutions différentes Vi(r) et Vi(r) du potentiel. La différence V(r) =
Vi(r)-V2(r) vérifie en tout point l'équation de Poisson
AV=O
(2)
Il s'agit ici, de trouver quel potentiel V(r) peut exister en absence de toute distribution de charge dans l'espace. Ce potentiel ne peut être qu'une constante sans
aucune signification physique. D'autre part, la distribution de charge p(r) est limitée dans l'espace. Aussi, les potentiels Vi(r) et Vi(r) tendent-ils tous deux vers
zéro lorsque r tend vers l'infini. Leur différence V(r) est donc nulle à l'infini et
par conséquent nulle partout puisque V est une constante. Ainsi, en tout point de
l'espace Vi(r) = Vi(r) et ceci démontre qu'il n'existe qu'une seule solution de
l'équation de Poisson pour une distribution de charge donnée.
Les coefficients d'influence
Considérons un conducteur A porté à un potentiel VA et un conducteur B, isolé,
situé initialement à l'infini du conducteur A. La charge totale portée par le
conducteur A est proportionnelle au potentiel VA, soit encore: QA = CAAVA. Par
contre, le conducteur B, isolé et situé à l'infini ne porte aucune charge, soit encore
Qs = O. Si maintenant nous approchons le conducteur B du conducteur A, celui-ci
sera alors placé dans le champ électrique créé par la charge QA et il apparaîtra une
densité superficielle de charge as de façon à annuler en tout point de son volume
le champ électrique créé par le conducteur A. Bien évidemment la charge totale
portée par B reste globalement neutre puisque B est isolé. Cette nouvelle répartition de charges à la surface du conducteur B crée en retour un potentiel et un
champ électrique en tout point de l'espace qui modifiera également la charge totale du conducteur A, de façon à ce que le champ soit toujours nul en tout point de
A. En particulier, il apparaît au sein de Bun potentiel non nul.
Si maintenant on impose au conducteur B le potentiel zéro (en le reliant à la terre
par exemple, alors il y aura écoulement de charges entre le conducteur B et la terre
qui conduira à l'équilibre à une charge Qs. Compte tenu du théorème d'unicité,
cette charge Qs est complètement définie par le potentiel VA et Vs = 0 et s'écrit
donc
(l)
Si maintenant, on porte le conducteur B au potentiel Vs, sa charge globale sera,
compte tenu du principe de superposition, définie par
(2)
Bien évidemment, cette situation est totalement symétrique et la charge portée par
le conducteur A sera donnée par
(3)