Vil. Electromagnétisme des milieux matériels
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On complète ces deux surfaces par une surface latérale f de façon à obtenir une
surface fermée. Puisque les surfaces .S\ et S 2 sont infiniment proches, la surface
f possède, de fait une largeur qui tend vers zéro.
Figure 2.
Enfin, la surface fermée est orientée par continuité. Cela signifie que les vecteurs
S1 et S2 ont des orientations opposées. On applique maintenant le théorème de
Gauss à cette surface fermée, ce qui donne
fjËdS = Jf Ëext·dS + Jf Ëint·dS + Jf Ë.dS = - 1 Jf CTds
s
S1
S2
L
eo s
(1)
Puisque les surfaces S1 et S2, sont petites, on peut admettre qu'en chacun de
leurs points le champ électrique est constant. Puisque le champ interne au conducteur est nul et que le flux du champ à travers la surface L infiniment étroite tend
vers zéro, il vient
(j
Eext.SI =-dS
eo
Enfin, puisque le conducteur est une équipotentielle, le champ ne peut avoir
qu'une composante normale à la surface, ce qui conduit à
E -
(j -
=-n
(2)
eo
Ainsi le champ électrique en tout point extérieur infiniment voisin de la surface
d'un conducteur de forme quelconque est-il localement perpendiculaire à la surface et son module est égal au rapport entre la densité superficielle de charge et la
permittivité.
2.3. Ensemble de conducteurs à l'équilibre électrostatique
On considère un ensemble de conducteurs repérés par l'indicej et portés respectivement à des potentiels ~ . Le problème consiste à déterminer les charges Qj portées par chacun d'entre eux.
Considérons une distribution de charges définie par la densité volumique p(r). Le
potentiel créé dans tout l'espace est solution de l'équation de Poisson