VI. Les fluides
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- -
- -
Üxr
iiJ = Crot(U / r) =-CU x grad(l / r) = C - 3 -
r
En coordonnées sphériques et en orientant la vitesse de la sphère le long de l'axe
Oz, il vient
(9)
Puisque iiJ = rot(v), la composante OJe de la vorticité est également donnée par
(IO)
Introduisons maintenant la fonction de courant de Stokes en coordonnées sphériques
l
Ôlfl(r,rp)
V - - - - --'--------'---'r - r 2 sinrp
ôrp
l
Ôlfl(r,rp)
V =rp
r sin rp
ôr
(l l)
En introduisant ces expressions dans (l 0), on trouve
1 ô 2 lfl
l ô ( 1 Ôlfl)
we = - r sin rp ôr2 -? ôrp sin rp ôrp
(12)
soit également en utilisant (9)
__ l_ô 2 lfl_~I ~(_I_ôlfl)-cusinrp
r sin rp ôr2
r3 ôrp sin rp ôrp
r2
(13)
On peut séparer les variables en posant lfl = f(r)sin 2 rp. L'équation (13) devient
1 8 2 f
2f CU
- - - - + - = -
r ôr2
r3
r2
(14)
Il est facile de vérifier que CUr / 2 est une solution particulière de (14).
L'équation sans second membre est alors
ô 2 J 2f
ôr 2
r 2
dont les solutions générales sont f = L' / r et f = M' r 2 où L' et M' sont des
constantes. Ainsi, en posant L=L '/U et M = M'/U, la solution la plus générale de
(13) est
lfl(r,rp) = U sin 2 rp( ~ + Mr 2 + ~)
Les composantes du champ de vitesses peuvent maintenant être calculées en introduisant cette dernière expression dans (11 ). Il vient