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Physique des systèmes complexes
vr =Ucosqi(~ + ~~ +2M J
(15a)
vrp = -Usinqi(~- ~ +2MJ
2r r
(15b)
Les constantes d'intégration Let M sont déterminées à partir des conditions limites:
- pour r ~ oo, v ~ 0 donc M = O.
- En r = R, on doit avoir v,. = U pour qJ = 0 et v rp = -U pour qJ = TC/ 2 / Ceci implique C = 3R / 2 et L = -R 3 / 4. Le champ de vitesses est donc
[ 3R R 3 J
vr =Ucosqi - - -
2r 2r3
. [3R R
3
J
vrp =-Usmqi - + - 3
4r 4r
De ce fait, les champs de pression et de vorticité sont donnés par
p =}._'!UR COSqJ = '}__T/R Ü.ii
2
r2
2
r2
me ='}__URsinqi ='}__R(Uxn)o
2
r2
2
r2
(16)
La force exercée sur une sphère en mouvement dans un milieu fluide infini peut
maintenant être déterminée. La contrainte normale à la surface de la sphère s'écrit
(17a)
Par ailleurs, il existe une contrainte tangentielle due à la viscosité
a r = ' ![.! ôv r + ôv rp _ v rp l 3 'IU sin qi
rp
r ÔqJ
ôr
r r=R 2
R
(17b)
Toutes les autres composantes du tenseur des contraintes sont nulles. La force
résultante par unité de surface en tout point de la sphère s'écrit donc
dF _=-_ _
__ 31'/Ucosqi_ 31'/Usinqi _ _ 3'!Ü (lS)
dS - a.n - G'rrer + G'rrperp - - 2 R er +2 R erp - -ZR
On en déduit la force totale
- ff dF
2 3 "ü
-
F =
-dS = -4TCR - - = -6TCT/RU
s dS
2 R
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Stokes.
(19)