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Physique des systèmes complexes
O = -grad(p) +Ji+ 17Av
(1)
Si les forces extérieures dérivent d'un potentiel (comme c'est le cas de la force de
- ~
pesanteur), il est possible de poser pf = grad(po). Avec cette notation l'équation
de Navier-Stokes devient
grad(p - Po)= grad(p') = 17Av
(2)
Cette équation peut s'écrire sous d'autres formes. En effet, le champ de vitesse est
également déterminé par le champ de vorticité par la relation
iiJ = rot(v)
En calculant le rotationnel de cette expression, il vient
rot(iiJ) = rot(rot(v)) = grad(div(v))-Av =-Av
Ainsi l'équation (2) s'écrit également
grad(p') = -17rot(iiJ)
Si l'on calcule la divergence de cette dernière expression, on trouve
div(grad(p') = Ap'= -17div(rot(iiJ)) = -77V.(V x iiJ) = 0
et l'équation (3) devient
Ap'=O
9.3. Forces et couples s'exerçant sur un solide en mouvement
(3)
(4)
Nous considérons maintenant un solide en mouvement dans un fluide visqueux.
Dans un référentiel donné, le mouvement le plus général du solide s'écrit sous la
forme du déplacement de son centre de gravité C à la vitesse Ü et d'une rotation
Q autour d'un axe passant par C. Ainsi, la vitesse en tout point M du solide est
donnée par
v=Ü+Ôxr
Les composantes de la force F et du couple G exercés sur le solide résultent des
contraintes de viscosité et des forces de pression hydrostatiques qu'exerce le fluide sur le solide. Leurs composantes sont des fonctions linéaires des composantes
des vecteurs Ü et Q. Ecrivons ces composantes sous la forme générale
F; =-17 L (Ai}Uj + Bi}Q j)
j
G; =-11I (CiJUJ +DiJQJ)
j
(1)
(2)