VI. Les fluides
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généralement pas simple sauf dans le cas où les objets ont des formes géométriques suffisamment symétriques. Après quelques généralités, nous aborderons le
cas particulier d'un objet sphérique en démontrant la formule de Stokes.
9.1. La fonction de courant
Les fluides incompressibles sont caractérisés par la relation div(v) = 0 . Cela signifie que le champ de vitesse dérive d'un potentiel vecteur
(1)
Si dans le cas général, il n'y a pas beaucoup d'intérêt à remplacer la recherche
d'un champ de vecteurs par la recherche d'un autre champ de vecteurs, il n'en est
pas de même lorsque les symétries d'une situation imposent que ce champ de vecteurs soit uniquement fonction de 2 variables (ou moins) parce que, dans un tel
cas, le potentiel vecteur ne possède qu'une seule composante. Par exemple, si un
champ de vecteur possède la forme
alors la relation div(v) = 0 conduit à
ovx + OVy = O
ox oy
et l'on voit bien que cette relation est vérifiée si
01/f
V = -
x
ày
01/f
V = - -
y
ox
(2)
La fonction l/f(x,y)représente la composante du potentiel vecteur dans la direction perpendiculaire au plan d'écoulement. Dans le cas d'écoulements axisymétriques, il est toujours possible d'introduire une telle fonction appelée fonction de
courant. En coordonnées polaires où l'axe Oz serait un axe de symétrie, il vient
1 Ol/f(p,z)
V = - - - - -
p
p
oz
1 Ol/f(p,z)
V = - - -'--"---'-z
P op
(3)
Pour un problème à symétrie sphérique et pour un écoulement invariant par rotation autour d'un axe (l'axe Oz) par exemple, nous obtenons
1
Ol/f(r,rp)
V - - - - - - -
r - r 2 sin rp
orp
1 Ol/f(r,rp)
V = - - - ---'----'-rp
r sin rp
or
(4)
9.2. Ecoulement à faible nombre de Reynolds
Lorsqu'un écoulement est caractérisé par un petit nombre de Reynolds, le terme
non linéaire de l'équation de Navier-Stokes est généralement négligeable. Ainsi
dans l'état stationnaire cette équation devient