VI. Les fluides
217
div(v) = o
(2)
Dans la suite de ce paragraphe nous examinons quelques propriétés de la vorticité
par analogie avec le champ magnétique caractérisé par les relations
~(il)= J div( il)= o
(3)
Le champ de vitesse joue le rôle de l'excitation magnétique, la vorticité joue le
rôle de la densité de courant. A l'équation locale (l), on peut adjoindre l'équation
intégrale (l'analogue du théorème d'Ampère)
JJ ~(v).dS = f v.dï = JJ w.ds = r
(4)
s
c
s
La circulation r apparaît donc comme l'analogue du courant électrique!.
On peut établir une correspondance entre l'excitation magnétique H et le champ
de vitesse sous réserve que les conditions limites se correspondent également. En
hydrodynamique, la composante normale de la vitesse s'annule à la surface d'un
corps solide immobile. Cette condition rend les lignes de courant parallèles à la
surface du corps à son voisinage immédiat. Une condition similaire en électromagnétisme ne se rencontre que dans le cas très particulier des supraconducteurs.
Aussi, dans ce qui suit, nous utiliserons donc uniquement l'analogie champ de
vitesse/champ magnétique lorsque ce dernier est produit par un ensemble de fils
conducteurs placés dans le vide. Ce cas est équivalent à celui d'un volume de
fluide infini où l'on n'a pas à respecter de conditions limites.
8.2. Tube de vorticité rectiligne
Considérons un tube de rayon cylindrique de rayon R, contenant une vorticité uniforme ÜJ • Pour r > R, la vorticité est supposée nulle
L'utilisation du théorème d' Ampère conduit alors pour tout point r > R à un
champ de vitesses possédant la symétrie cylindrique, ce qui implique
f v.dÏ = f vdl = 21lrV = JJ w.ds = 1lR. 2 OJ = r
(1)
c
c
s
soit également
- r -
v=-ee
2w
(2)
La quantité r = trR 2 0J (appelée circulation du vecteur vitesse) caractérise la force
du tourbillon Ce résultat reste valable même si le cœur du tourbillon est réduit à
une ligne de rayon nul avec une densité infinie de vorticité.
La variation de pression autour du tourbillon est obtenue en appliquant la relation
de Bernoulli
(3)
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div(v) = o
(2)
Dans la suite de ce paragraphe nous examinons quelques propriétés de la vorticité
par analogie avec le champ magnétique caractérisé par les relations
~(il)= J div( il)= o
(3)
Le champ de vitesse joue le rôle de l'excitation magnétique, la vorticité joue le
rôle de la densité de courant. A l'équation locale (l), on peut adjoindre l'équation
intégrale (l'analogue du théorème d'Ampère)
JJ ~(v).dS = f v.dï = JJ w.ds = r
(4)
s
c
s
La circulation r apparaît donc comme l'analogue du courant électrique!.
On peut établir une correspondance entre l'excitation magnétique H et le champ
de vitesse sous réserve que les conditions limites se correspondent également. En
hydrodynamique, la composante normale de la vitesse s'annule à la surface d'un
corps solide immobile. Cette condition rend les lignes de courant parallèles à la
surface du corps à son voisinage immédiat. Une condition similaire en électromagnétisme ne se rencontre que dans le cas très particulier des supraconducteurs.
Aussi, dans ce qui suit, nous utiliserons donc uniquement l'analogie champ de
vitesse/champ magnétique lorsque ce dernier est produit par un ensemble de fils
conducteurs placés dans le vide. Ce cas est équivalent à celui d'un volume de
fluide infini où l'on n'a pas à respecter de conditions limites.
8.2. Tube de vorticité rectiligne
Considérons un tube de rayon cylindrique de rayon R, contenant une vorticité uniforme ÜJ • Pour r > R, la vorticité est supposée nulle
L'utilisation du théorème d' Ampère conduit alors pour tout point r > R à un
champ de vitesses possédant la symétrie cylindrique, ce qui implique
f v.dÏ = f vdl = 21lrV = JJ w.ds = 1lR. 2 OJ = r
(1)
c
c
s
soit également
- r -
v=-ee
2w
(2)
La quantité r = trR 2 0J (appelée circulation du vecteur vitesse) caractérise la force
du tourbillon Ce résultat reste valable même si le cœur du tourbillon est réduit à
une ligne de rayon nul avec une densité infinie de vorticité.
La variation de pression autour du tourbillon est obtenue en appliquant la relation
de Bernoulli
(3)