VI. Les fluides
215
O = pg - grad(p) + 171},.v
En projetant sur l'axe horizontal Ox, on retrouve bien l'équation (10) dont les solutions sont immédiates et fournissent
K
vx(z) = --(Az + B)
(11)
17
soit encore, en considérant les conditions limites selon lesquelles la vitesse du
fluide s'annule au contact des plans
(12)
La vitesse d'écoulement est maximale en z = 0 et vaut
a2
!},.p a2
Vmax =K-=-817
L 817
(13)
Exemple 3 : écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique
Ecrivons l'équation de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques, l'axe du cylindre étant ici Ox, La vitesse suivant Ox, ne dépendant que de la variable p des
coordonnées cylindriques (à ne pas confondre avec la masse volumique), il vient
0=_8p+ 17 _!_[~(P 8vx )]
8x
p 8p
8p
soit en introduisant le coefficient de perte de charge
_!!__(P dvx) = _ K p
dp
dp
17
dvx
1 K
A
-=---p+dp
2 17
p
vx(P)=-!5._p 2 +Alog(p)+B
417
(14)
(15)
(16)
Le fluide ne pouvant avoir une vitesse infinie en r = 0, la constante A vaut zéro.
La constante B est déterminée en imposant qu'en r = R, la vitesse du fluide
s'annule Il vient
( 2]
K
2
2
P
vx(p)=-(R -p )=Vmax 1-2
417
R
(17)
Tout comme dans le cas d'un écoulement forcé entre deux plans, le profil de vitesse est parabolique (figure 16).
Le débit volumique Q du fluide dans le tube cylindrique est donné par
l'expression