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Physique des systèmes complexes
Exemple 2 : écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles
Ce type d'écoulement (entre 2 plans fixes) est nécessairement induit par une différence de pression appliquée aux extrémités des plans. On suppose les deux plans
situés en z = +a/2 et -a/2. L'écoulement est induit par un gradient de pression
homogène
ôP/ôx =-K =-API L
où K est le coefficient de perte de charge.
Y'
PA
Figure 15.
X
Considérons un élément de fluide de dimensions dx, dy, dz et évaluons la composante des forces qui s'exercent suivant Ox sur cet élément. Les forces de pression
conduisent à
ôP
Al'
fpx =[-p(x+dx)+ p(x)]c.(ydz =- ôx dV =Ldxdydz
(8)
Sur les faces supérieures et inférieures s'exercent des forces de cisaillement données par
ôa'
a 2 v
fcx = a'xz (z + dz)dxdy- a'xz (z)dxdy = ___E_dxdydz = 11---f dxdydz (9)
ôz
ôz
La résultante des forces de pression et de cisaillement étant nulle, on obtient
2
d Vx K 0
17--+ =
dz 2
On aurait obtenu la même équation en partant directement de l'équation de
Navier-Stokes
ôii
-
- -
p - + p(v.grad)v = pf - grad(p) + 17fJ. v
ôt
(IO)
dans laquelle, on néglige les termes non linéaires, et en ne considérant que l'état
stationnaire, ce qui donne