208
Physique des systèmes complexes
6.5.3. L'équation de Bernoulli
La relation de Bernoulli est l'équation énergétique stationnaire associée à
l'équation de Navier. Elle est plus commode d'utilisation dans la plupart des problèmes concrets que l'on a à résoudre. Pour l'obtenir, nous multiplions l'équation
de Navier par un déplacement infinitésimal le long d'une ligne de courant soit
encore ar = vdt . Que l'écoulement soit irrotationnel ou non, il vient alors dans le
cas stationnaire ( àv / àt = 0)
1 ~ 2
- -
-pgrad(v ).ar = pg.ar - grad(p).ar
2
(1)
En effet, le terme contenant le rotationnel de la vitesse a disparu puisque l'on s'est
déplacé le long d'une ligne de courant. Compte tenu de l'orientation du vecteur
g, l'équation (1) peut être réécrite sous la forme
soit encore
d( ± pv 2 + pgz + p) = 0
_!_ pv 2 + pgz + p = Cte
2
(2)
(3)
Cette relation valable le long de tout tube de courant constitue la relation de Bernoulli. Ce résultat poutTa être également appliqué aux cas des gaz lorsque les différences d'altitude mises en jeu seront suffisamment faibles pour pouvoir négliger
les variations de la masse volumique du gaz.
Notons que si l'écoulement avait été irrotationnel, on aurait pu choisir n'importe
quel déplacement et non pas spécifiquement un déplacement le long d'une ligne
de courant. Dans un tel cas, la relation de Bernoulli est valable pour tout couple
de points quelconques situés dans le fluide en écoulement. Les conséquences de la
relation de Bernoulli sont nombreuses comme le montrent les applications suivantes.
- Une démonstration simple de l'effet de l'écoulement
Une démonstration simple de l'effet de l'écoulement peut être réalisée sans problème à l'aide de deux feuilles de papier. Il suffit de tenir ces deux feuilles à une
distance d'environ deux centimètres et de souffler entre les feuilles. L'écoulement
de l'air (considéré comme un fluide parfait incompressible dans cette occasion)
provoque alors le rapprochement des feuilles. Ce résultat qui choque également le
sens commun s'explique simplement à l'aide de la formule de Bernoulli.
L'écoulement de l'air étant horizontal, on peut éliminer les termes de pesanteur.
Entre les feuilles, la pression du fluide vaut Po et la vitesse d'écoulement vaut vo.
A l'extérieur, cette pression vaut PB et la vitesse Vs. Il vient alors
1
2
2
PB - PO = l p( VQ - V B)
Physique des systèmes complexes
6.5.3. L'équation de Bernoulli
La relation de Bernoulli est l'équation énergétique stationnaire associée à
l'équation de Navier. Elle est plus commode d'utilisation dans la plupart des problèmes concrets que l'on a à résoudre. Pour l'obtenir, nous multiplions l'équation
de Navier par un déplacement infinitésimal le long d'une ligne de courant soit
encore ar = vdt . Que l'écoulement soit irrotationnel ou non, il vient alors dans le
cas stationnaire ( àv / àt = 0)
1 ~ 2
- -
-pgrad(v ).ar = pg.ar - grad(p).ar
2
(1)
En effet, le terme contenant le rotationnel de la vitesse a disparu puisque l'on s'est
déplacé le long d'une ligne de courant. Compte tenu de l'orientation du vecteur
g, l'équation (1) peut être réécrite sous la forme
soit encore
d( ± pv 2 + pgz + p) = 0
_!_ pv 2 + pgz + p = Cte
2
(2)
(3)
Cette relation valable le long de tout tube de courant constitue la relation de Bernoulli. Ce résultat poutTa être également appliqué aux cas des gaz lorsque les différences d'altitude mises en jeu seront suffisamment faibles pour pouvoir négliger
les variations de la masse volumique du gaz.
Notons que si l'écoulement avait été irrotationnel, on aurait pu choisir n'importe
quel déplacement et non pas spécifiquement un déplacement le long d'une ligne
de courant. Dans un tel cas, la relation de Bernoulli est valable pour tout couple
de points quelconques situés dans le fluide en écoulement. Les conséquences de la
relation de Bernoulli sont nombreuses comme le montrent les applications suivantes.
- Une démonstration simple de l'effet de l'écoulement
Une démonstration simple de l'effet de l'écoulement peut être réalisée sans problème à l'aide de deux feuilles de papier. Il suffit de tenir ces deux feuilles à une
distance d'environ deux centimètres et de souffler entre les feuilles. L'écoulement
de l'air (considéré comme un fluide parfait incompressible dans cette occasion)
provoque alors le rapprochement des feuilles. Ce résultat qui choque également le
sens commun s'explique simplement à l'aide de la formule de Bernoulli.
L'écoulement de l'air étant horizontal, on peut éliminer les termes de pesanteur.
Entre les feuilles, la pression du fluide vaut Po et la vitesse d'écoulement vaut vo.
A l'extérieur, cette pression vaut PB et la vitesse Vs. Il vient alors
1
2
2
PB - PO = l p( VQ - V B)