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Physique des systèmes complexes
alors d'étudier des situations dans lesquelles certains termes seront suffisamment
petits pour être négligés.
6.5.1. Rôle de l'accélération de Coriolis
Par exemple, le terme de Coriolis 20 x v est généralement négligeable devant le
terme convectif (v.V)v. Cependant, dans le cas des masses d'air atmosphérique,
où la vitesse est typiquement 20 mis et l'échelle des distances R - 10 6 m, ces termes sont respectivement de l'ordre de 2Qv - 3 10- 3 m/s 2 alors que
(v.V)v.::::: v 2 /R.::::: 4.I0- 4 m/s 2 . Dans cette situation, il est possible de négliger
les termes convectifs par rapport au terme de Coriolis, si bien qu'en régime stationnaire, caractérisé par le fait que l'ensemble des dérivées partielles par rapport
au temps sont nulles, l'équation d'Euler se réduit à
0 = pg - 2 pO x v - grad (p)
dont la projection dans un plan horizontal conduit à
2p0 x v = -grad(p)
Cette équation implique bien, dans ! 'hémisphère nord, une rotation des nuages
dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de tout centre dépressionnaire. En dehors de telles situations, la force de Coriolis peut être négligée devant
le terme convectif (c'est pour cette raison qu'il est difficile de prévoir le sens
d'écoulement de l'eau lorsque l'on vide un lavabo). Dans la suite, nous négligeons
l'accélération de Coriolis et considérerons l'équation d'Euler sous la forme
ovl--2
~
~
p - +- pgrad(v ) + p[rot(v)] x v = pg - grad(p)
ot 2
6.5.2. Ondes de gravité
L'équation d'Euler permet l'étude du mouvement d'oscillations de la surface d'un
fluide incompressible dans un récipient de hauteur h, lorsqu'on perturbe sa surface
par exemple en jetant une pierre. Pour simplifier cette étude, nous négligeons les
termes non linéaires de l'équation d'Euler qui devient
ov
-p - = pg- grad(p)
ot
(1)
Examinons le mouvement dans un plan Oxz d'un référentiel terrestre, Oz étant la
verticale (figure 10). En projetant (1) suivant les deux axes, il vient
OVx :=: _ _!_op (a)
ot
p ox
OVz
1 op
- = - g - - - (b)
ot
p oz
Le fluide étant supposé incompressible, la relation div(v) = 0 implique
ovx + OVz = O
ox oz
(2)
(3)
Physique des systèmes complexes
alors d'étudier des situations dans lesquelles certains termes seront suffisamment
petits pour être négligés.
6.5.1. Rôle de l'accélération de Coriolis
Par exemple, le terme de Coriolis 20 x v est généralement négligeable devant le
terme convectif (v.V)v. Cependant, dans le cas des masses d'air atmosphérique,
où la vitesse est typiquement 20 mis et l'échelle des distances R - 10 6 m, ces termes sont respectivement de l'ordre de 2Qv - 3 10- 3 m/s 2 alors que
(v.V)v.::::: v 2 /R.::::: 4.I0- 4 m/s 2 . Dans cette situation, il est possible de négliger
les termes convectifs par rapport au terme de Coriolis, si bien qu'en régime stationnaire, caractérisé par le fait que l'ensemble des dérivées partielles par rapport
au temps sont nulles, l'équation d'Euler se réduit à
0 = pg - 2 pO x v - grad (p)
dont la projection dans un plan horizontal conduit à
2p0 x v = -grad(p)
Cette équation implique bien, dans ! 'hémisphère nord, une rotation des nuages
dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de tout centre dépressionnaire. En dehors de telles situations, la force de Coriolis peut être négligée devant
le terme convectif (c'est pour cette raison qu'il est difficile de prévoir le sens
d'écoulement de l'eau lorsque l'on vide un lavabo). Dans la suite, nous négligeons
l'accélération de Coriolis et considérerons l'équation d'Euler sous la forme
ovl--2
~
~
p - +- pgrad(v ) + p[rot(v)] x v = pg - grad(p)
ot 2
6.5.2. Ondes de gravité
L'équation d'Euler permet l'étude du mouvement d'oscillations de la surface d'un
fluide incompressible dans un récipient de hauteur h, lorsqu'on perturbe sa surface
par exemple en jetant une pierre. Pour simplifier cette étude, nous négligeons les
termes non linéaires de l'équation d'Euler qui devient
ov
-p - = pg- grad(p)
ot
(1)
Examinons le mouvement dans un plan Oxz d'un référentiel terrestre, Oz étant la
verticale (figure 10). En projetant (1) suivant les deux axes, il vient
OVx :=: _ _!_op (a)
ot
p ox
OVz
1 op
- = - g - - - (b)
ot
p oz
Le fluide étant supposé incompressible, la relation div(v) = 0 implique
ovx + OVz = O
ox oz
(2)
(3)