VI. Les fluides
205
En régime stationnaire ( ôp / ôt = 0 ), la divergence du vecteur courant volumique
est nulle. Ainsi son flux est nul à travers toute surface fermée. En particulier, si un
fluide s'écoule dans un tube de courant de section variable comme l'illustre la
figure 9, compte tenu de l'orientation des normales aux sections du tube, le courant de masse qui traverse la section S1 est égal au courant de masse qui traverse
la section S2. Dans le cas général, il vient
f ].ds = f ].ds
SJ
S2
Dans le cas particulier où les sections sont droites et où la vitesse est uniforme, il
vient P1v1S1 = P2v2S2 . Si de plus le fluide est incompressible, alors
v1S1 =v2S2
Figure 9.
6.5. Dynamique des fluides non visqueux (ou fluides parfaits)
L'équation régissant l'écoulement de tels fluides est obtenue en faisant 1J = 0 dans
l'équation de Navier-Stokes, ce qui conduit à l'équation d'Euler
p ôv + p(v.grad)v = pg - 2pQ x v - grad(p)
(la)
ôt
ô v l - 2
-
-
-
p-+-pgrad(v ) + p[rot(v)]x v = pg-2,oQx v- grad(p)
(lb)
ôt 2
dans laquelle nous n'avons tenu compte que de la force de pesanteur ainsi que de
la force de Coriolis associée à la rotation de la terre décrite par le vecteur n. Cette équation vectorielle fournit trois équations scalaires alors qu'il y a cinq inconnues Vx Vy, Vz, p, p. En principe les deux équations manquantes sont fournies par la
thermodynamique. Cependant, même si, grâce aux équations de la thermodynamique, nous obtenons le bon nombre d'équations, leur résolution reste difficile de
par la présence de termes non linéaires (en v2) dans l'équation d'Euler. Il convient
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En régime stationnaire ( ôp / ôt = 0 ), la divergence du vecteur courant volumique
est nulle. Ainsi son flux est nul à travers toute surface fermée. En particulier, si un
fluide s'écoule dans un tube de courant de section variable comme l'illustre la
figure 9, compte tenu de l'orientation des normales aux sections du tube, le courant de masse qui traverse la section S1 est égal au courant de masse qui traverse
la section S2. Dans le cas général, il vient
f ].ds = f ].ds
SJ
S2
Dans le cas particulier où les sections sont droites et où la vitesse est uniforme, il
vient P1v1S1 = P2v2S2 . Si de plus le fluide est incompressible, alors
v1S1 =v2S2
Figure 9.
6.5. Dynamique des fluides non visqueux (ou fluides parfaits)
L'équation régissant l'écoulement de tels fluides est obtenue en faisant 1J = 0 dans
l'équation de Navier-Stokes, ce qui conduit à l'équation d'Euler
p ôv + p(v.grad)v = pg - 2pQ x v - grad(p)
(la)
ôt
ô v l - 2
-
-
-
p-+-pgrad(v ) + p[rot(v)]x v = pg-2,oQx v- grad(p)
(lb)
ôt 2
dans laquelle nous n'avons tenu compte que de la force de pesanteur ainsi que de
la force de Coriolis associée à la rotation de la terre décrite par le vecteur n. Cette équation vectorielle fournit trois équations scalaires alors qu'il y a cinq inconnues Vx Vy, Vz, p, p. En principe les deux équations manquantes sont fournies par la
thermodynamique. Cependant, même si, grâce aux équations de la thermodynamique, nous obtenons le bon nombre d'équations, leur résolution reste difficile de
par la présence de termes non linéaires (en v2) dans l'équation d'Euler. Il convient