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Physique des systèmes complexes
(3)
On s'intéresse parfois au débit volume qui représente le volume de fluide qui traverse une surface, soit encore
qv = ff v.ds
s
Pour un fluide incompressible qv = qm I p.
6.4. Bilan de masse
(4)
Considérons un système ouvert constitué d'un volume V limité par une surface
fermée S. La variation explicite de masse contenue dans ce volume correspond à
la dérivée par rapport au temps de la masse totale contenue dans le volume. Celleci ne peut varier que s'il existe un courant de masse à travers la surface S limitant
le volume, soit encore
oM o Jff
Jff op
U -: -
- = -
pdr=
-dr=-n JmdS
ot
ot V
V
ot
S
(1)
Le signe moins introduit devant l'intégrale double provient de l'orientation des
normales à la surface S choisie de telle manière que si le vecteur courant de masse
est orienté vers l'extérieur du volume V, celui-ci perd de la masse. On peut utiliser
la formule de Green pour transformer l'intégrale double en intégrale triple. II vient
en regroupant les termes
fJJ (op+ div(]m))dr = 0
V
ot
(2)
Cette égalité étant vraie quel que soit le volume d'intégration, on en déduit la loi
locale
op= -div(]m)
ot
D'autre part, la dérivée eulérienne de p est donnée par
dp op
-
- = - + v.grad(p)
dt ot
Ainsi (3) peut également s'écrire
soit enfin
op
pd. (-) _ -d( )
pd. (-) op dp
- = - IV V -v.gra p =- IV V + - - -
~
~
~
dp = -pdiv(v)
dt
(3)
(4)
(5)