VI. Les fluides
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6.2. Ecoulements laminaires et turbulents
Il est possible de matérialiser les lignes de courant à l'aide d'un filet de liquide
coloré inséré à l'intérieur d'un fluide en écoulement. L'expérience montre qu'il
existe deux régimes possibles de l'écoulement. Par exemple, l'observation des
lignes de champ dans un tube montre que la vitesse reste constante et parallèle à
l'axe du tube ou restent régulières autour d'un obstacle tant que le nombre de Reynolds reste petit. Un tel régime d'écoulement est dit laminaire.
Rappelons l'expression du nombre de Reynolds
R=pDV
1'/
Lorsque le nombre de Reynolds augmente, les lignes de courant ondulent, se déstabilisent et un régime turbulent s'établit lors duquel des composantes de vitesses
chaotiques peuvent être observées. Il est difficile de prévoir la limite séparant les
régimes d'écoulements laminaires et turbulents et a fortiori d'étudier les caractéristiques de l'écoulement turbulent pour la simple raison que l'équation différentielle de Navier-Stokes possède des termes non linéaires introduits par la dérivée
eulérienne qui rendent impossibles de trouver des solutions générales de
l'équation complète. De telles équations peuvent être résolues numériquement,
mais l'expérience (numérique) montre une très grande sensibilité des résultats aux
conditions initiales (l'effet papillon) rendant par exemple extrêmement délicates
les prévisions météorologiques.
Dans la suite, nous nous intéresserons exclusivement aux écoulements laminaires
et nous résolvons l'équation de Navier-Stokes :
8 \ i l - 2
-
- -
p-+-pgrad(v )+p[rot(v)]xv=pf-grad(p)+'f/A\i
(1)
àt 2
- soit dans des conditions où la géométrie du système implique l'annulation du
terme non linéaire,
- soit dans des conditions où le nombre de Reynolds est suffisamment faible pour
pouvoir négliger ce terme non linéaire. Dans les deux cas, l'équation (2) devient
l'équation de Stokes
av - -
p - = pf - grad(p) + 'f/A\i
àt
(2)
6.3. Vecteur courant volumique, débit masse, débit volume
On appelle vecteur courant volumique de masse le vecteur défini par
JmCr,t) = p\i(r,t)
(1)
Le débit masse élémentaire traversant une surface élémentaire orientée est donné
par
(2)
Le débit masse à travers une surface quelconque vaut alors
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6.2. Ecoulements laminaires et turbulents
Il est possible de matérialiser les lignes de courant à l'aide d'un filet de liquide
coloré inséré à l'intérieur d'un fluide en écoulement. L'expérience montre qu'il
existe deux régimes possibles de l'écoulement. Par exemple, l'observation des
lignes de champ dans un tube montre que la vitesse reste constante et parallèle à
l'axe du tube ou restent régulières autour d'un obstacle tant que le nombre de Reynolds reste petit. Un tel régime d'écoulement est dit laminaire.
Rappelons l'expression du nombre de Reynolds
R=pDV
1'/
Lorsque le nombre de Reynolds augmente, les lignes de courant ondulent, se déstabilisent et un régime turbulent s'établit lors duquel des composantes de vitesses
chaotiques peuvent être observées. Il est difficile de prévoir la limite séparant les
régimes d'écoulements laminaires et turbulents et a fortiori d'étudier les caractéristiques de l'écoulement turbulent pour la simple raison que l'équation différentielle de Navier-Stokes possède des termes non linéaires introduits par la dérivée
eulérienne qui rendent impossibles de trouver des solutions générales de
l'équation complète. De telles équations peuvent être résolues numériquement,
mais l'expérience (numérique) montre une très grande sensibilité des résultats aux
conditions initiales (l'effet papillon) rendant par exemple extrêmement délicates
les prévisions météorologiques.
Dans la suite, nous nous intéresserons exclusivement aux écoulements laminaires
et nous résolvons l'équation de Navier-Stokes :
8 \ i l - 2
-
- -
p-+-pgrad(v )+p[rot(v)]xv=pf-grad(p)+'f/A\i
(1)
àt 2
- soit dans des conditions où la géométrie du système implique l'annulation du
terme non linéaire,
- soit dans des conditions où le nombre de Reynolds est suffisamment faible pour
pouvoir négliger ce terme non linéaire. Dans les deux cas, l'équation (2) devient
l'équation de Stokes
av - -
p - = pf - grad(p) + 'f/A\i
àt
(2)
6.3. Vecteur courant volumique, débit masse, débit volume
On appelle vecteur courant volumique de masse le vecteur défini par
JmCr,t) = p\i(r,t)
(1)
Le débit masse élémentaire traversant une surface élémentaire orientée est donné
par
(2)
Le débit masse à travers une surface quelconque vaut alors