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Physique des systèmes complexes
Notons que la forme adimensionnelle de l'équation de Navier-Stokes indique que
la nature du fluide (ses constantes physiques), la géométrie et la cinématique de
l'écoulement n'interviennent dans les équations et les conditions limites que par
l'intermédiaire du nombre de Reynolds. Ceci permet d'envisager l'étude de systèmes réels à l'aide de maquettes.
Nombres de Reynolds faibles
Pour les systèmes caractérisés par des nombres de Reynolds faibles, les forces
visqueuses et de transport diffusif sont dominants. Les écoulements résultent d'un
équilibre entre les gradients de pression et les forces volumiques. L'expérience
montre que dans de tels cas les écoulements sont stables (laminaires). Ils sont soit
obtenus aux basses vitesses et/ou dans les systèmes de petites tailles
Nombres de Reynolds Grands
Les écoulements deviennent instables (turbulents) car les termes non linéaires
impliquent une grande sensibilité des solutions aux conditions limites ce qui
conduit à une infinité de solutions possibles de l'équation du mouvement. Expérimentalement, ces écoulements turbulents sont observés aux fortes vitesses, dans
les fluides peu visqueux et/ou dans les systèmes de grande taille. Ils se manifestent fréquemment par l'apparition et la superposition de tourbillons.
En résumé, bien que l'équation de Navier-Stokes soit obtenue à partir de lois déterministes, le comportement chaotique résultant de la grande sensibilité des solutions aux conditions initiales interdit toute prédictibilité à plus ou moins long terme: on parle d'une imprédictibilité déterministe, qui n'a pas la même origine que
l'indéterminisme associé aux inégalités d'Heisenberg qui régissant le fondement
de la mécanique quantique.
4.4. Les conditions limites
Le champ des vitesses, solution de l'équation différentielle de Navier-Stokes, ne
peut être caractérisé complètement que si l'on connaît les conditions limites de
l'écoulement. De manière générale l'écoulement d'un fluide est canalisé par une
paroi solide et parfois par des interfaces fluides/fluides lorsque deux fluides non
miscibles sont présents dans le système. Intéressons nous aux conditions limites
d'une interface solide/fluide. De toute évidence, aucun flux de fluide ne peut traverser la paroi solide si bien que la composante des vitesses du fluide normale aux
interfaces est égale à celle du solide.
- - - -
V solide .n = V fluide .n
(1)
Pour un fluide parfait (de viscosité nulle), aucune condition n'est à imposer sur la
composante tangentielle. Cela implique que le glissement du fluide parallèle à la
paroi est possible.
Pour un fluide visqueux (réel), les contraintes de viscosité interdisent tout glissement du fluide par rapport à la surface solide car une telle discontinuité entraînerait une dissipation d'énergie infinie à la surface. Ainsi, pour les fluides réels les
conditions limites à l'interface fluide/solide sont
-
-
V solide = V fluide
(2)
Physique des systèmes complexes
Notons que la forme adimensionnelle de l'équation de Navier-Stokes indique que
la nature du fluide (ses constantes physiques), la géométrie et la cinématique de
l'écoulement n'interviennent dans les équations et les conditions limites que par
l'intermédiaire du nombre de Reynolds. Ceci permet d'envisager l'étude de systèmes réels à l'aide de maquettes.
Nombres de Reynolds faibles
Pour les systèmes caractérisés par des nombres de Reynolds faibles, les forces
visqueuses et de transport diffusif sont dominants. Les écoulements résultent d'un
équilibre entre les gradients de pression et les forces volumiques. L'expérience
montre que dans de tels cas les écoulements sont stables (laminaires). Ils sont soit
obtenus aux basses vitesses et/ou dans les systèmes de petites tailles
Nombres de Reynolds Grands
Les écoulements deviennent instables (turbulents) car les termes non linéaires
impliquent une grande sensibilité des solutions aux conditions limites ce qui
conduit à une infinité de solutions possibles de l'équation du mouvement. Expérimentalement, ces écoulements turbulents sont observés aux fortes vitesses, dans
les fluides peu visqueux et/ou dans les systèmes de grande taille. Ils se manifestent fréquemment par l'apparition et la superposition de tourbillons.
En résumé, bien que l'équation de Navier-Stokes soit obtenue à partir de lois déterministes, le comportement chaotique résultant de la grande sensibilité des solutions aux conditions initiales interdit toute prédictibilité à plus ou moins long terme: on parle d'une imprédictibilité déterministe, qui n'a pas la même origine que
l'indéterminisme associé aux inégalités d'Heisenberg qui régissant le fondement
de la mécanique quantique.
4.4. Les conditions limites
Le champ des vitesses, solution de l'équation différentielle de Navier-Stokes, ne
peut être caractérisé complètement que si l'on connaît les conditions limites de
l'écoulement. De manière générale l'écoulement d'un fluide est canalisé par une
paroi solide et parfois par des interfaces fluides/fluides lorsque deux fluides non
miscibles sont présents dans le système. Intéressons nous aux conditions limites
d'une interface solide/fluide. De toute évidence, aucun flux de fluide ne peut traverser la paroi solide si bien que la composante des vitesses du fluide normale aux
interfaces est égale à celle du solide.
- - - -
V solide .n = V fluide .n
(1)
Pour un fluide parfait (de viscosité nulle), aucune condition n'est à imposer sur la
composante tangentielle. Cela implique que le glissement du fluide parallèle à la
paroi est possible.
Pour un fluide visqueux (réel), les contraintes de viscosité interdisent tout glissement du fluide par rapport à la surface solide car une telle discontinuité entraînerait une dissipation d'énergie infinie à la surface. Ainsi, pour les fluides réels les
conditions limites à l'interface fluide/solide sont
-
-
V solide = V fluide
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