VI. Les fluides
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moyens informatiques a permis de trouver des solutions numériques de cette
équation dans des situations de plus en plus complexes (dans le domaine de la
météorologie par exemple). Ce faisant, ces solutions numériques révèlent une extrême sensibilité aux conditions initiales. Ceci se traduit par le fait que de très
faibles variations sur les conditions initiales peuvent engendrer des solutions fortement divergentes. Un tel comportement interdit en pratique toute prédictibilité
au-delà d'un temps plus ou moins long puisqu'il est pratiquement impossible de
connaître avec une précision suffisantes les conditions initiales. On qualifie de
chaotique un tel comportement dans ce sens où le chaos est l'opposé de tout comportement prédictible. Le temps de prédiction de l'évolution d'un système complexe peut être évalué et s'appelle temps d'horizon de prédictibilité de Lyapunov.
Il s'avère que le comportement chaotique, c'est-à-dire l'extrême sensibilité des
solutions d'une équation aux dérivées partielles aux conditions limites n'est pas
uniquement réservé aux systèmes constitués d'un très grand nombre de particules.
En effet, dans le cas de l'interaction de gravitation, au-delà du problème à deux
corps qui peut être résolu analytiquement, dès que trois corps sont en interaction
(par exemple le système soleil-terre-lune considéré comme isolé), il n'existe plus
de solutions analytiques simples et on approche la description de l'évolution de
tels systèmes par des techniques de perturbation qui interdisent toute prédiction du
comportement à très long terme. On estime actuellement que l'on peut prévoir
l'évolution du système solaire en deçà d'un temps de Lyapunov de l'ordre de 200
millions d'années. En météorologie, le temps de prédiction n'est que de l'ordre
de quelques jours.
Il n'est pas facile de déterminer les conditions à partir desquelles les solutions de
l'équation de Navier-Stokes deviennent instables. Cependant on peut évaluer
l'importance des termes convectifs,c'est-à-dire le terme non linéaire v.grad(ïi),
par rapport aux termes diffusifs (le terme ri~v) en réécrivant l'équation de Navier-Stokes sous forme adimensionnelle. Introduisons pour cela les grandeurs D et
V caractéristiques de la taille et de la vitesse d'un écoulement. Introduisons alors
les grandeurs sans dimension repérées par des « primes »
r'= r 1 D ïi'= ïi IV t'=tD p'= p
V
JipV2
(1)
A l'aide d'un tel changement de variables, l'équation de Navier-Stokes (en absence de forces extérieures) devient
ôïi'
- -
~
1]
p - + p(ïi'.grad')ïi'=-grad'(p') +--~'ïi'
ôt'
pVD
Il apparaît, en facteur du terme diffusif, l'inverse du nombre sans dimension
R _pVD
e - 1]
(2)
(3)
Ce nombre appelé nombre de Reynolds représente le rapport des termes non linéaires aux termes de viscosité.
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moyens informatiques a permis de trouver des solutions numériques de cette
équation dans des situations de plus en plus complexes (dans le domaine de la
météorologie par exemple). Ce faisant, ces solutions numériques révèlent une extrême sensibilité aux conditions initiales. Ceci se traduit par le fait que de très
faibles variations sur les conditions initiales peuvent engendrer des solutions fortement divergentes. Un tel comportement interdit en pratique toute prédictibilité
au-delà d'un temps plus ou moins long puisqu'il est pratiquement impossible de
connaître avec une précision suffisantes les conditions initiales. On qualifie de
chaotique un tel comportement dans ce sens où le chaos est l'opposé de tout comportement prédictible. Le temps de prédiction de l'évolution d'un système complexe peut être évalué et s'appelle temps d'horizon de prédictibilité de Lyapunov.
Il s'avère que le comportement chaotique, c'est-à-dire l'extrême sensibilité des
solutions d'une équation aux dérivées partielles aux conditions limites n'est pas
uniquement réservé aux systèmes constitués d'un très grand nombre de particules.
En effet, dans le cas de l'interaction de gravitation, au-delà du problème à deux
corps qui peut être résolu analytiquement, dès que trois corps sont en interaction
(par exemple le système soleil-terre-lune considéré comme isolé), il n'existe plus
de solutions analytiques simples et on approche la description de l'évolution de
tels systèmes par des techniques de perturbation qui interdisent toute prédiction du
comportement à très long terme. On estime actuellement que l'on peut prévoir
l'évolution du système solaire en deçà d'un temps de Lyapunov de l'ordre de 200
millions d'années. En météorologie, le temps de prédiction n'est que de l'ordre
de quelques jours.
Il n'est pas facile de déterminer les conditions à partir desquelles les solutions de
l'équation de Navier-Stokes deviennent instables. Cependant on peut évaluer
l'importance des termes convectifs,c'est-à-dire le terme non linéaire v.grad(ïi),
par rapport aux termes diffusifs (le terme ri~v) en réécrivant l'équation de Navier-Stokes sous forme adimensionnelle. Introduisons pour cela les grandeurs D et
V caractéristiques de la taille et de la vitesse d'un écoulement. Introduisons alors
les grandeurs sans dimension repérées par des « primes »
r'= r 1 D ïi'= ïi IV t'=tD p'= p
V
JipV2
(1)
A l'aide d'un tel changement de variables, l'équation de Navier-Stokes (en absence de forces extérieures) devient
ôïi'
- -
~
1]
p - + p(ïi'.grad')ïi'=-grad'(p') +--~'ïi'
ôt'
pVD
Il apparaît, en facteur du terme diffusif, l'inverse du nombre sans dimension
R _pVD
e - 1]
(2)
(3)
Ce nombre appelé nombre de Reynolds représente le rapport des termes non linéaires aux termes de viscosité.