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Physique des systèmes complexes
(2)
Bvk _ A
(r ") àdiv(v) ( 3 )
-
- 1'/u.Vi + ' :> +OXk
3
àxi
puis encore, en notation vectorielle
div(;')= '16,.v + ( Ç + ~ )grad(div(v))
(4)
En reportant cette expression dans l'équation §4.3-(Sb), on obtient ainsi pour tout
fluide newtonien, incompressible ou non, l'équation du mouvement
p - = pf - grad(p) + '16,.v + Ç +- grad(div(v))
dV
- -
(
" ) -
dt
3
(5)
Si on peut négliger la compressibilité du fluide ( div(v) = 0 ), on obtient l'équation
de Navier-Stokes
dV
- - -
p - = pf - grad(p) + '16,.v
dt
En utilisant la dérivée eulérienne
où
dV av c--d)-=-+ v.gra v
dt àt
(v.grad)v = _!_ grad(v 2 ) + (;;i(v)) x v
2
av
-- -
p - + p(v.grad)v = pf - grad(p) + '16,. v
àt
l'expression (6) s'écrit également
(6)
(7)
(8)
(9)
ovl-2
-
- -
p-+-pgrad(v )+ p[rot(v)]xv = pf-grad(p)+'lô,.v
(10)
àt 2
4.3. Prédictibilité et chaos
L'équation de Navier-Stokes est une équation non linéaire aux dérivées partielles.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz (1820) affirme que toute équation différentielle
possède une solution unique ne dépendant que des conditions initiales. Ainsi, le
comportement de tout fluide est-il, en principe, formellement déterminé si l'on
connaît les conditions initiales. Cependant, la complexité de cette équation ne
permet de trouver de solutions analytiques que dans des situations simples que
nous examinerons dans la suite de ce chapitre. Dans les cas plus complexes où par
exemple les termes non linéaires deviennent prépondérants, seules des solutions
numériques peuvent être envisagées. Dès les années 1960, le développement des