VI. Les fluides
193
où Ï est la force externe (pesanteur, forces centrifuges, forces électriques, etc.)
par unité de masse et où il est entendu que les forces internes sont la résultantes
des forces agissant sur toutes les faces de la particule fluide. Ainsi, les composantes des forces internes qui s'exercent sur la masse om située entre les positions x; et
x;+dx; sont données par la différence entre la force qui s'exerce sur la surface située en X; et la surface située en x;+dx;. Il vient par exemple pour la composante
suivant l'axe Ox
OF'x = O'xx(x+dx,y,z)dydz-axx(x,y,z)dydz
(2)
+axy(x,y+dy,z)dxdz-axy(x,y,z)dxdz+axzCx,y,z+dz)dxdy-axz(x,y,z)dxdy
et ainsi de suite pour chacune des composantes. En effectuant un développement
limité par rapport aux dx 1 , et en faisant tendre les dx 1 vers zéro, on obtient de manière générale
En définitive, l'équation (1) devient
dv·
"' aaij
P - 1 = Pfi + L..J
dt
j axj
Soit encore, en utilisant §3-(2)
dv;
8p °"' 8a'ij
p-=pfi--+ L..J
dt
8x;
j axj
En réécrivant cette équation sous forme vectorielle, on obtient
dV
- - -
=
p - = P.f - grad(p) + div( a')
dt
où le symbole div( cr) représente ici un vecteur de composantes
( r aax 1 ·L aay 1 ·L
1 ax 1 1 ax 1 1
4.2. L'équation de Navier-Stokes
(3)
(4)
(5a)
(5b)
Dans l'hypothèse où le fluide est newtonien, le tenseur des contraintes de viscosité est relié au tenseur des vitesses de déformation par la relation §3-(10). En utilisant cette relation, lat composante du vecteur div(cr') est donnée par
[div(a')]; = L aa'iJ = L ~[11(2e;,J -~o;, 1 div(v))+l;o;, 1 div(v)J (1)
j axj
j 8x1
3
soit encore