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Physique des systèmes complexes
Pour de tels fluides, la viscosité dépend de la vitesse d'écoulement et peut soit
augmenter avec celle-ci (les épaississants : exemple le ciment liquide) soit diminuer (les fluidifiants : exemple le ketchup).
Cependant, dans de très nombreux cas, il existe une relation linéaire entre les
composantes du tenseur des contraintes et les composantes du tenseur des vitesses
de déformation, soit encore
a\J = L Aijklekl
k,l
(3)
De tels fluides sont appelés fluides newtoniens. Dans ce chapitre, nous ne nous
intéresserons uniquement qu'aux fluides newtoniens.
La relation (3) peut être réécrite sous la forme
a'i,J = L AiJk{ek,l -}ôk,tdiv(v))+}div(v)L Aijktôk,t
(4)
k,l
k,l
où div(v) = tr(e) = e 1 1 + e 22 + e 33 , soit encore
a' · · = ' °' A· ·kt (ek 1 - _!_ ôk 1 div(v)) + _!_div( v )C. ·
1,)
L... 1)
'
3 '
3
l,j
k,l
(5)
Viscosité
Le premier terme de l'expression (5) concerne les contraintes qui ne conduisent
qu'à des déformations sans changement de volume. Celles-ci correspondent physiquement au glissement relatif de deux particules fluides superposées comme
l'illustre la figure 2.
z
t
t+dt
X
Figure2.
Pour identifier les coefficients A;jkl correspondants, considérons le cas simple où
le fluide possèderait un champ de vitesse caractérisé par le seul terme non nul
àv x / àz . Dans un tel cas, les différentes particules fluides superposées dans la
direction Oz et ayant une surface commune dS glissent les unes sur les autres et
engendrent ainsi des forces de frottement dirigées dans la direction Ox et appli-