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Physique des systèmes complexes
Notons que le tenseur antisymétrique ne possède que trois composantes indépendantes
OJ =[-~xy
-OJXZ
En posant
on définit le vecteur tourbillon tel que
-
l -
n =-rot(v)
2
Le vecteur tourbillon caractérise la vorticité de l'écoulement.
(3)
(4)
(5)
La signification des différents termes eij et OJij caractérisant le champ des vitesses
est exactement la même que celle des différents termes du tenseur des déformations et du tenseur des rotations des solides introduits au chapitre précédent :
a) Le vecteur tourbillon conduit à un simple mouvement de rotation, sans cisaillement et sans changement de volume des particules fluides.
b) Les termes diagonaux e;; du tenseur symétrique correspondent à des vitesses de
déformation conduisant au changement du volume des particules fluides tel que
d (LiV)
(=) àvx àvy àvz
_
-
-
=e11 +e22 +e33 =Tr e =-+-+-=div(v)
dt V
àx
ày
àz
Si le fluide est incompressible, il vient div(v) = 0
c) Les termes non diagonaux eij correspondent à des vitesses de cisaillement, sans
changement de volume des particules fluides.
De manière générale, le terme symétrique e;J peut s'écrire sous la forme
ey = ( ey -toif t ek.k )+toif t ekk = dy +ty
(6)
où Ôij (= 1 si i = j, sinon 0) est le symbole de Kronecker. Sous cette écriture, t;J est
associé à la seule dilatation des particules fluide. Le tenseur dij dont la trace est
nulle est appelé déviateur et est associé aux déformations des particules fluides
sans changement de volume.
3. Les forces internes
De la même manière que pour les solides, il est possible de décrire les forces internes en introduisant le tenseur des contraintes (f tel que
Physique des systèmes complexes
Notons que le tenseur antisymétrique ne possède que trois composantes indépendantes
OJ =[-~xy
-OJXZ
En posant
on définit le vecteur tourbillon tel que
-
l -
n =-rot(v)
2
Le vecteur tourbillon caractérise la vorticité de l'écoulement.
(3)
(4)
(5)
La signification des différents termes eij et OJij caractérisant le champ des vitesses
est exactement la même que celle des différents termes du tenseur des déformations et du tenseur des rotations des solides introduits au chapitre précédent :
a) Le vecteur tourbillon conduit à un simple mouvement de rotation, sans cisaillement et sans changement de volume des particules fluides.
b) Les termes diagonaux e;; du tenseur symétrique correspondent à des vitesses de
déformation conduisant au changement du volume des particules fluides tel que
d (LiV)
(=) àvx àvy àvz
_
-
-
=e11 +e22 +e33 =Tr e =-+-+-=div(v)
dt V
àx
ày
àz
Si le fluide est incompressible, il vient div(v) = 0
c) Les termes non diagonaux eij correspondent à des vitesses de cisaillement, sans
changement de volume des particules fluides.
De manière générale, le terme symétrique e;J peut s'écrire sous la forme
ey = ( ey -toif t ek.k )+toif t ekk = dy +ty
(6)
où Ôij (= 1 si i = j, sinon 0) est le symbole de Kronecker. Sous cette écriture, t;J est
associé à la seule dilatation des particules fluide. Le tenseur dij dont la trace est
nulle est appelé déviateur et est associé aux déformations des particules fluides
sans changement de volume.
3. Les forces internes
De la même manière que pour les solides, il est possible de décrire les forces internes en introduisant le tenseur des contraintes (f tel que