VI. Les fluides
187
où la somme est étendue aux N molécules contenues dans le volume 8V et où
v J est la vitesse de la particule j.
On introduit la notion de particule.fluide en imaginant que l'ensemble les particules réelles contenues dans le volume 8V est identifiable à une particule fictive caractérisée par une masse constante ôm = p8V où p est la masse volumique du
fluide et une vitesse v donnée par (1). Lors de l'évolution du système, la particule
fluide conserve sa masse ôm mais son volume 8V peut varier (compression ou
dilatation) ou changer de forme (cisaillement)
2.2. Description Eulérienne ou Lagrangienne
L'ensemble des vitesses des particules fluides de position r à l'instant t constitue
le champ des vitesses v(r,t).
Dans la description eulérienne, on s'intéresse à la vitesse v(r,t) d'une particule
qui coïncide à l'instant t avec un point fixe M de vecteur position r. On regarde
donc en ce point M la vitesse de particules différentes qui passent par le point M.
A l'instant ultérieur t', la vitesse au même point Msera v(r,t').
Dans la description lagrangienne, on suit une même particule fluide qui se déplace
dans l'espace et adopte différentes positions M en fonction du temps La vitesse
de cette particule qui était par exemple v(r,t) devient v(r' ,t') puisque la particule a changé de position.
2.3. Accélération d'une particule fluide
Considérons une particule située au point r à l'instant t et possédant alors la vitesse v(r,t). A l'instant ultérieur t' la particule est en r' avec la vitesse v(r' ,t'). En
posant t ' - t = ôt, la variation de vitesse vaut
a- a- av av
8V = v(r' ,t')-v(r,t) = 2ot + _!__& +-& +-&
Ôt
ôx
ôy
ôz
(1)
L'accélération est alors donnée par
av 1 . 8V av av
av av av _ -d(-)
- = 1m -=-+vx-+vy-+vz-=-+v.gra v
dt &~O ôt ôt
ôx
ôy
ôz ôt
(2)
2.4. Décomposition du champ de vitesse au voisinage d'un point
Considérons deux particules fluides voisines situées respectivement, au même
temps t, en r et r + ar et possédant des vitesses v et v + av . Entre ces deux
points, chaque composante de la vitesse possède une variation
~ ÔV·
dvi = Li - -
1 dx J
j
ÔXj
(1)
Les quantités GiJ = ôv; / ôx 1 sont les composantes d'un tenseur que l'on peut exprimer par la somme d'un terme symétrique et d'un terme antisymétrique
187
où la somme est étendue aux N molécules contenues dans le volume 8V et où
v J est la vitesse de la particule j.
On introduit la notion de particule.fluide en imaginant que l'ensemble les particules réelles contenues dans le volume 8V est identifiable à une particule fictive caractérisée par une masse constante ôm = p8V où p est la masse volumique du
fluide et une vitesse v donnée par (1). Lors de l'évolution du système, la particule
fluide conserve sa masse ôm mais son volume 8V peut varier (compression ou
dilatation) ou changer de forme (cisaillement)
2.2. Description Eulérienne ou Lagrangienne
L'ensemble des vitesses des particules fluides de position r à l'instant t constitue
le champ des vitesses v(r,t).
Dans la description eulérienne, on s'intéresse à la vitesse v(r,t) d'une particule
qui coïncide à l'instant t avec un point fixe M de vecteur position r. On regarde
donc en ce point M la vitesse de particules différentes qui passent par le point M.
A l'instant ultérieur t', la vitesse au même point Msera v(r,t').
Dans la description lagrangienne, on suit une même particule fluide qui se déplace
dans l'espace et adopte différentes positions M en fonction du temps La vitesse
de cette particule qui était par exemple v(r,t) devient v(r' ,t') puisque la particule a changé de position.
2.3. Accélération d'une particule fluide
Considérons une particule située au point r à l'instant t et possédant alors la vitesse v(r,t). A l'instant ultérieur t' la particule est en r' avec la vitesse v(r' ,t'). En
posant t ' - t = ôt, la variation de vitesse vaut
a- a- av av
8V = v(r' ,t')-v(r,t) = 2ot + _!__& +-& +-&
Ôt
ôx
ôy
ôz
(1)
L'accélération est alors donnée par
av 1 . 8V av av
av av av _ -d(-)
- = 1m -=-+vx-+vy-+vz-=-+v.gra v
dt &~O ôt ôt
ôx
ôy
ôz ôt
(2)
2.4. Décomposition du champ de vitesse au voisinage d'un point
Considérons deux particules fluides voisines situées respectivement, au même
temps t, en r et r + ar et possédant des vitesses v et v + av . Entre ces deux
points, chaque composante de la vitesse possède une variation
~ ÔV·
dvi = Li - -
1 dx J
j
ÔXj
(1)
Les quantités GiJ = ôv; / ôx 1 sont les composantes d'un tenseur que l'on peut exprimer par la somme d'un terme symétrique et d'un terme antisymétrique