V. Déformation des solides
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Pour éviter que la solution de (l 3b) ne diverge, il faut que la constante a soit positive, ce qui conduit à des solutions de la forme 3( 8) = a cos( ra8)
ou encore
3( 8) = b sin( ra 8) . Mais, il faut également que 3( 8) = 3( 8 + 27r) ce qui impose
ra= n. Ainsi
Pour n = 0, une solution particulière de cette dernière équation est
R 0 (r) = a 0 + b 0 ln(r)
Pour toute autre valeur entière de n, une solution particulière est
(14)
(15a)
(15b)
Ainsi, la solution générale est-elle une combinaison linéaire de toutes ces solutions particulières
OO
OO
ef;(r,8)=ao+boln(r)+ L (anrn+/3nr-n)sin(ri8)+ L (rnrn+Ônr-n)scos(ri8) (15c)
n~
n~
Cependant, nous cherchons des solutions qui ne divergent pas et qui conduisent à
des contraintes nulles à l'infini. Ceci élimine i) tous les termes constants, ii) le
terme logarithmique ainsi que iii) les valeurs positives de n. D'autre part,
l'inspection de la figure suggère que les contraintes soient maximum dans la région comprimée (en Jr/2) et minimum dans la région relâchée en 3m2, ce qui exclut tous les termes en cos. Il n'est pas nécessaire de retenir les termes qui décroissent plus rapidement que 1 Ir car leur contribution disparaît à faible distance
de la dislocation. Ainsi il ne reste que
r
La fonction 'JI vérifie alors
On vérifiera aisément qu'une solution particulière est
If/ = /3i r sin( 8) ln(r)
2
(16)
(17)
(18)
On peut obtenir les coefficients non nuls du tenseur des contraintes à partir des
équations (5)
(19)