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Physique des systèmes complexes
(lOa)
soit également
82 a xx + 82 a YY = 2 82 a xy + v(~[8a xx + 8a xy l + ~[8a YY + 8a xy ]J (1 Ob)
8y 2
8x 2
8x8y
8x ôx
ôy
ôy ôy
8x
Puisque, selon les équations (4), les termes entre crochets sont nuls, on obtient
plus simplement
2
82
82
8 (J' XX
(J' yy
(J' xy
- - + - - = 2 - -
ôy2
8x2
8xôy
(lOc)
En utilisant les relations (5), on génère l'équation aux dérivées partielles vérifiées
par la fonction l/f :
(l la)
soit encore
(
]
2
82
82
- 2 +-2 l/f = 0 = ~(dl/f)
8x
ôy
(l lb)
Si l'on pose d l/f = a xx + a yy = t/J , cette nouvelle fonction vérifie donc l'équation
de Laplace dt/J = 0 , soit également, en coordonnées polaires
(12)
Pour trouver la solution la plus générale de l'équation de Laplace, remarquons que
les variables r et B ne sont pas couplées, ce qui autorise à poser
t/J(r,B) = R(r)S(B). Il vient
soit
J__lr2 8 2 R + r 8Rj = _J__ 8 2 8 =a
R
a,.2
ar
s ae2
82';;
~=-aS (13b)
88 2
2 8 2 R
àR
r --+r-=aR
a,.2
ar
(13a)
(13b)