V. Déformation des solides
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indépendante de la coordonnée z (invariance par translation suivant Oz pour une
dislocation droite infiniment longue), soit encore
L'équation de Navier conduit alors à
àa xx + àa xy = 0
àx
ày
àaxy àayy
- - + - - = 0
àx
ày
(3)
(4a)
(4b)
Il est facile de remarquer (mais il fallait y penser) que les équations (4) sont automatiquement vérifiées si l'on pose
021/f
a = - - -
xy
àxày
D'autre part, en utilisant la définition du tenseur des déformations, il vient
à 2 cxx = 8 2 (àux)= à 3 ux
ay2
ay2 àx
àxày2
a 2 cyy _ 0 2 (àuy )- a 3 uy
~ - àx 2 ày - àyàx 2
~2
2 (
~ )
3
~3
u Bxy - 1 à
OUx uUy - 1 à Ux
1 u Uy
- - - - - - - + - -
- - - + - - -
àxày - 2 àxày ày
àx - 2 àxày 2 2 àyox 2
et par conséquent
2
~2
~2
à Bxx u Byy
u Bxy
- - + - - = 2 - -
ay2
àx2
àxày
(5)
(6a)
(6b)
(6c)
(7)
Cette dernière expression confirme que les composantes du tenseur de déformation ne sont pas indépendantes. Les relations §2.5-(2b) montrent que dans le cas
de la déformation plane
axx v
Bxx =----ayy
E
E
(8)
En introduisant ces expressions dans (7), il vient
~ 2
à 2 a
à 2 a
~ 2
à 2 a
u axx -v____fl'_+____fl'_-vu axx =2(l+v)----2..
(9)
ay2
ay2
àx2
àx2
àxày
Cette équation peut s'écrire