168
Physique des systèmes complexes
propager dans tout milieu matériel. Nous aborderons ensuite le concept de dislocation, initialement introduit par V. Volterra ( 1860-1940) comme source théorique de champs d'autocontraintes internes dans un milieu continu, puis transposé,
comme hypothèse de travail dans le cas des solides cristallisés vers 1930, dans le
but d'expliquer leur déformation plastique avant que les dislocations cristallines
soient effectivement mises en évidence en microscopie électronique vers 1950.
2.6.J. Propagation du son dans les solides
En ne tenant pas compte des forces de gravitation l'équation de Navier conduit à
d 2 ui
oaij
a 2 uz
PYi = p - 2 -= L - = L cukz-dt
j ox j
jkl
8x jOxk
(1)
Il s'agit bien d'une équation de propagation car elle relie les dérivées secondes par
rapport au temps des déplacements à leurs dérivées secondes par rapport à
l'espace. Considérons la solution sous la forme
Il vient
ü(r,t) = ü(ij, co)cos(cot -ij.r)
co 2 pui = r cukzq1qkuz
jkl
En posant ru = L cijklq jqk' l'équation (3) peut être réécrite sous la forme
jk
L (rn -pco 2 oi 1 )u 1 =0
1
(2)
(3)
(4)
Il s'agit d'un système d'équations linéaires sans second membre. Pour qu'il possède des solutions non triviales, il suffit que le déterminant associé soit nul, ce qui
donne
détlru - pco 2 ôu1 = o
(5)
Ce déterminant d'ordre 3 possède 3 solutions qui correspondent respectivement à
une vibration longitudinale et deux vibrations transversales.
Dans le cas d'un milieu homogène caractérisé par les coefficients de Lamé,
l'équation (1) devient
d 2 ui
o 2 uJ
p-2-=µ/).ui +(À+µ)L - -
(6)
dt
j OxjOxj
En supposant une solution sous la forme (2) le système d'équation linéaire (6)
devient
(µq 2 - pco 2 )ui +(À+ µ)L qiqju J = 0
j
(7)