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Physique des systèmes complexes
W = -fJJd 3 r_!_"""' a· ·& ..
2 ~ l,j lj
V
1,J
(9)
La densité d'énergie potentielle stockée dans un solide déformé est donc donnée
par
1- -
Ep élas = - ( j : 8
'
2
(10)
Si l'on introduit la relation linéaire (3) entre contrainte et déformation, soit encore
aij = Cijk/&k/, il vient
Ce résultat montre que les composantes du tenseur C vérifient
82/
cijkl =
= cklij
à&ijà&k/
(11)
(12)
Puisque Gk/ = G/k' O'ij = O'ji et cijkl = cklij, le tenseur des constantes élastiques ne
possède au plus que 21 composantes indépendantes. Ce dernier nombre peut encore être réduit grâce aux invariances pour toute opération de symétrie du matériau.
Dans le cas particulier de la symétrie cubique, il ne reste que trois coefficients
indépendants
C11 =Cxxxx =Cyyyy =Czzzz
C12 = Cxxyy = Cxxzz = Cyyzz
C44 = Cxyxy = Cxzxz = Cyzyz
(13)
où nous avons utilisé la notation contractée de Voigt (1910) dans laquelle les indices redondants ne sont pas rappelés
a1 =a11
a2 =a22
a3 = a33
a4 =a23
a5 = a31
a6 =a12
2.5. Les matériaux isotropes
8 1 =&11
8 2 = &22
&3 = &33
84 = 2&23
85 = 2&31
86 = 2&12
(14)
Dans le cas particulier d'un matériau homogène et isotrope, le tenseur des coefficients élastiques doit être invariant pour tout changement de base ce qui implique
que seuls deux nombres sont nécessaires pour l'exprimer. Par exemple
a(e) = À-Tr(e)l + 2µ&
(la)