V. Déformation des solides
163
Ainsi : «Ut tensio, sic vis 4 » (Telle extension, telle force), phrase énoncée par
Robert Hooke lorsqu'il proposa l'existence d'une relation linéaire entre le tenseur
de contrainte et le tenseur des déformations.
(3)
Pour trouver les caractéristiques du tenseur des coefficients élastiques C, nous
partons du fait qu'en tout point d'un solide déformé son énergie libre dépend nécessairement de toutes les composantes du tenseur des déformations. Considérons
un volume élémentaire cfr du solide contenant ainsi une énergie libre ôF. Introduisons l'énergie libre volumique f = ôF!cfr. Lorsque le solide est déformé cette
quantité f est fonction de toutes les composantes locales du tenseur des déformations. Dans un tel cas, si l'on s'en tient au premier ordre significatif, le développement série de/vaut
(4)
Les termes contenant les dérivées premières de f par rapport aux composantes du
tenseur des déformations sont absents de cette expression puisque, à l'équilibre,/
est minimum en absence de toute déformation. L'accroissement de l'énergie libre
volumique correspond à l'opposé du travail des forces volumiques internes J lors
de leur déplacement ü , soit encore
(5)
Ainsi pour le solide entier de volume V, il vient
ÔO'· .
)
l,j
- - u ·
ôx;
1
(6)
Cette expression peut également s'écrire
ôu;
O'· · - -
1,j a
'X j
(7)
En utilisant le théorème de la divergence, le second terme peut être exprimé sous
la forme d'une intégrale de surface
w = u [" a· ·u ·dS ·)-fffd3r" a· . ôu;
"
L. 1, 1 1 1
L. 1,1 a
S
i,j
V
i,j
'X}
(8)
Puisqu'à l'équilibre les contraintes sont nulles à la surface du solide, ce premier
terme est identiquement nul. Il ne reste que
4 Devise de l'Ecole Polytechnique.