V. Déformation des solides
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L'équation (2b) est l'équation de Navier dans laquelle nous avons introduit le vecteur dhi(a)
- . =
-:(Ôaxx ÔO"xy ÔO"xz) -:(ÔO"yx Ôayy ÔO"yz)
d1v(s)=1 - - + - - + - - +J - - + - - + - -
ôx
ôy
ôz
ôx
ôy
ôz
k -(ÔO"zx ÔO"zy ÔO"zz)
+ - - + - - + - -
ôx
ôy
ôz
(3)
Les forces extérieures agissant sur l'ensemble du solide sont très fréquemment
réduites aux forces de pesanteur. Dans un tel cas, l'équilibre d'un solide déformé
est caractérisé par r = 0 et est donc régi par l'équation
ÔO"··
:L ___!}_ + pgi = o
j ÔXj
2.3.2. Symétrie des coefficients du tenseur des contraintes
Le moment des forces appliquées au volume dV vaut
ff rx(a.dS)+ fff (rxÏex1 )d• = fff p(rxfld•
OS
dV
dV
En projetant par exemple cette équation suivant la direction Oz, on obtient
(4)
(1)
fJ L (xayj -yaxj).dSj + JfJ (xfext,y -yfext,x)dr = JfJ p(xry -Yrx))dr (2)
OS j
dV
dV
En utilisant le théorème de la divergence,
fJ L (xayj-Yaxj)dSj =
liS j
soit également
fJ L (xayj-YO"xj)dSj =
liS j
=Jff [a -a +{ÔO"yx + ÔO"yy + ÔO"yz)-{ÔO"xx + ÔO"xy + ÔO"xz)~•
yx xy
ôx
fy
ÔZ
ÔX
fy
ÔZ
dV
puis, en introduisant ce résultat dans (2), on trouve
(3)
(4)
Or compte tenu de l'équation de Navier §2.3.l-(2a), les deux termes entre parenthèses sont nuls si bien que