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Physique des systèmes complexes
Figure 11.
Les termes aif sont les composantes du tenseur des contraintes. Leur dimension
est celle d'une pression (pascal). On peut faire tendre les dimensions du volume
élémentaire vers zéro, ce qui montre que le tenseur des contraintes est une grandeur locale définie en tout point du matériau. Sous forme tensorielle, la force élémentaire qui s'exerce sur une surface quelconque est donnée par
2.3. Dynamique, équilibre
2.3.1. L'équation de Navier
lf =a.ds
(2)
Pour établir l'équation de Navier, considérons un volume élémentaire dV=dxdydz
soumis à un champ de contraintes. Dans la direction Ox les deux faces sont respectivement aux cotes x et x +dx. Dans la direction Oy, elles sont aux cotes y et
y+dy. Dans la direction z, elles sont aux cotes z et z+dz. Les composantes de la
force interne (résultant des contraintes exercées sur chaque face) qui s'exerce sur
un tel volume sont alors
Of;= L [aij(x;,x 1 +dx 1 ,xk)-aij(x;,xj,xk)]dx;dxk
j
soit en faisant tendre les dimensions de dV vers zéro
OJ; = .L aaij
dV
j ôxj
(1)
Si le solide est de plus soumis à des forces volumiques extérieures J ext (pesanteur, forces électriques), alors en appliquant le principe fondamental de la dynamique, les composantes y; de l'accélération vérifient
" ôaij
PY; = fext,i + L... - 8 -
J 'Xj
(2a)
où p est la masse volumique du solide. L'équation (2a) peut être écrite sous la
forme vectorielle
Pr = fext + div(a)
(2b)
Physique des systèmes complexes
Figure 11.
Les termes aif sont les composantes du tenseur des contraintes. Leur dimension
est celle d'une pression (pascal). On peut faire tendre les dimensions du volume
élémentaire vers zéro, ce qui montre que le tenseur des contraintes est une grandeur locale définie en tout point du matériau. Sous forme tensorielle, la force élémentaire qui s'exerce sur une surface quelconque est donnée par
2.3. Dynamique, équilibre
2.3.1. L'équation de Navier
lf =a.ds
(2)
Pour établir l'équation de Navier, considérons un volume élémentaire dV=dxdydz
soumis à un champ de contraintes. Dans la direction Ox les deux faces sont respectivement aux cotes x et x +dx. Dans la direction Oy, elles sont aux cotes y et
y+dy. Dans la direction z, elles sont aux cotes z et z+dz. Les composantes de la
force interne (résultant des contraintes exercées sur chaque face) qui s'exerce sur
un tel volume sont alors
Of;= L [aij(x;,x 1 +dx 1 ,xk)-aij(x;,xj,xk)]dx;dxk
j
soit en faisant tendre les dimensions de dV vers zéro
OJ; = .L aaij
dV
j ôxj
(1)
Si le solide est de plus soumis à des forces volumiques extérieures J ext (pesanteur, forces électriques), alors en appliquant le principe fondamental de la dynamique, les composantes y; de l'accélération vérifient
" ôaij
PY; = fext,i + L... - 8 -
J 'Xj
(2a)
où p est la masse volumique du solide. L'équation (2a) peut être écrite sous la
forme vectorielle
Pr = fext + div(a)
(2b)