156
Physique des systèmes complexes
(15)
Il convient donc d'introduire cette expression dans (14), ce qui conduit à un facteur de structure instantané dépendant du temps. Puisque toute mesure expérimentale possède une durée excessivement longue par rapport aux variations temporelles introduites par l'agitation thermique, nous n'observons en fait qu'une valeur
moyenne (temporelle ou thermique) du facteur de structure. Soit p(Üa) la probabilité qu'un atome a soit écarté de sa position d'équilibre sous l'effet de
l'agitation thermique. L'expression (5) conduit alors à une densité électronique
effective donnée par
peffCr)= L fff PaCF-R1-ra-Üa)p(üa)d3ua
(16)
},a
soit encore par une somme de produits de convolution. Or, l'expression (8) n'est
rien d'autre que la transformée de Fourier de la densité électronique créée par
l'atome a. En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier des produits de
convolution 2 il vient ainsi
eff
~()
fa hkl = fa,hk!P\Ghkl
'
Si l'on admet que la probabilité p(Üa) soit, pour chaque atome, de la forme
u2
_ ___!:!__
O"~
p(Üa) = Ae
où A est un coefficient de normalisation, l'expression ( 17) devient 3
J eff _ J.
-cr~Gikl 14
a,hkl - a,hkle
(17)
(18)
(19)
L'écart type aa de la position des atomes peut être évalué en admettant que les
atomes sont des oscillateurs harmoniques tels que ü(t) = ü 0 cos(wat). La valeur
moyenne temporelle du carré de cette expression peut être assimilée au carré de
l'écart type cherché, soit encore ( u 2 ) = u~ / 2 =a~. Cette dernière relation fixe
l'amplitude des oscillations en fonction de l'écart type. Elle permet ainsi
d'exprimer l'énergie cinétique moyenne de chaque atome a en fonction de aa
puis de la relier à la température absolue, ce qui conduit à
1
(·2) 1 2 2 3
2ma Ua = 2malVaO'a = 2KT
(20)
2 On rappelle que la transformée de Fourier du produit de convolution
h(x) = f f(x - x')g(x')dx' vaut h(q) = f(q)g(q).
3 On rappelle que la transformée de Fourier d'une gaussienne est de la forme
TF(exp(-x 2 / a 2 ) )=Be -oq 2 14 où Best un coefficient numérique.
Physique des systèmes complexes
(15)
Il convient donc d'introduire cette expression dans (14), ce qui conduit à un facteur de structure instantané dépendant du temps. Puisque toute mesure expérimentale possède une durée excessivement longue par rapport aux variations temporelles introduites par l'agitation thermique, nous n'observons en fait qu'une valeur
moyenne (temporelle ou thermique) du facteur de structure. Soit p(Üa) la probabilité qu'un atome a soit écarté de sa position d'équilibre sous l'effet de
l'agitation thermique. L'expression (5) conduit alors à une densité électronique
effective donnée par
peffCr)= L fff PaCF-R1-ra-Üa)p(üa)d3ua
(16)
},a
soit encore par une somme de produits de convolution. Or, l'expression (8) n'est
rien d'autre que la transformée de Fourier de la densité électronique créée par
l'atome a. En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier des produits de
convolution 2 il vient ainsi
eff
~()
fa hkl = fa,hk!P\Ghkl
'
Si l'on admet que la probabilité p(Üa) soit, pour chaque atome, de la forme
u2
_ ___!:!__
O"~
p(Üa) = Ae
où A est un coefficient de normalisation, l'expression ( 17) devient 3
J eff _ J.
-cr~Gikl 14
a,hkl - a,hkle
(17)
(18)
(19)
L'écart type aa de la position des atomes peut être évalué en admettant que les
atomes sont des oscillateurs harmoniques tels que ü(t) = ü 0 cos(wat). La valeur
moyenne temporelle du carré de cette expression peut être assimilée au carré de
l'écart type cherché, soit encore ( u 2 ) = u~ / 2 =a~. Cette dernière relation fixe
l'amplitude des oscillations en fonction de l'écart type. Elle permet ainsi
d'exprimer l'énergie cinétique moyenne de chaque atome a en fonction de aa
puis de la relier à la température absolue, ce qui conduit à
1
(·2) 1 2 2 3
2ma Ua = 2malVaO'a = 2KT
(20)
2 On rappelle que la transformée de Fourier du produit de convolution
h(x) = f f(x - x')g(x')dx' vaut h(q) = f(q)g(q).
3 On rappelle que la transformée de Fourier d'une gaussienne est de la forme
TF(exp(-x 2 / a 2 ) )=Be -oq 2 14 où Best un coefficient numérique.