V. Déformation des solides
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noirs situés en A et B aux positions A' et B' représentées par les nœuds blancs
montrés sur la figure 4.
Si une telle rotation laisse invariante le plan réticulaire, c'est qu'il avait avant la
rotation un nœud situé en A' et qu'un nœud situé en D' soit venu remplacer le
nœud initialement en B. Or, la longueur D'A' ne peut être qu'une translation entière du réseau direct donc égale à un nombre entier de fois OA si bien que
D'A'= nOA = 20A'cosrp = 20Acosrp
(1)
ce qui implique cos rp = n / 2 et donc - 2 :::;; n :::;; 2. Les seuls angles rp possibles
sont donc
rp = { tr, 2 tr/3, tr/2, tr/3, 2 tr}
(2)
D'
0
A'
B
0
A
B'
Figure4.
Il ne peut donc exister que des axes de rotation d'ordre 2, 3, 4 et 6. En termes
journaliers, cela signifie qu'il est possible de paver une surface avec des rectangles des carrés des triangles ou des hexagones mais il est impossible de le faire
avec des pentagones ou des heptagones ...
Les structures cristallographiques ne peuvent donc pas être quelconques. Si, dans
un espace à trois dimensions, on génère, à partir d'un nœud, un réseau de points
en utilisant les translations primitives compatibles avec les opérations de rotation
possibles, on trouve 7 formes primitives qui donnent finalement naissance à 14
types de réseaux possibles (réseaux de Bravais, 1848) puis à 32 classes de symétrie. Les réseaux de Bravais sont répertoriés dans le tableau 1, à partir des notations définies sur la figure 5.
Bien entendu, chaque nœud peut être occupé par une molécule constituée de plusieurs atomes, si bien que la position r d'un atome particulier a est définie par la