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Physique des systèmes complexes
- Moment d'inertie d'une sphère pleine par rapport à un axe passant par son centre:
On considère le volume élémentaire dV = r2sin(} drdfJdrp
Figure 7.
I= J dm(d) 2 =pf (r 2 sinfJdrdfJdrp)(rsin(}) 2
V
V
R 5 tr
R 5 4
= p27r-J sin 3 ()d(} = p27r-5 0
5 3
(7a)
Le volume total V valant 4/37rR 3 , on trouve
I=3._MR 2
5
(7b)
On peut retrouver ce résultat autrement, en utilisant la symétrie sphérique. En effet
1
I~
2 2
2 2
2 2
I =li =fi =I3 =3(/i +I2 +h)=3~ mi(yi +z1 )+m/xJ +y} )+m/xJ +y})
1
(7c)
2~
2 2 2 2
=3~ m1(x1 +YJ +z1)=3Io
J
où Io, moment d'inertie par rapport au centre, vaut
R 5 tr
R 5 3
Io= J dm? =pf (r 2 sin(Jird(Jirp)r 2 =p27r-J sin(Ji(}=p47r-=-Mi2
V
V
50
5 5
d'où