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Physique des systèmes complexes
lxy=lyx='Lm 1 x 1 y 1 lyz=lzy=Lmfyjzj lxz=lzx=Lmfxjzi
(4b)
j
j
j
soit encore
(4c)
Les termes diagonaux de cette matrice sont appelés moments d'inertie et les termes non diagonaux produits d'inertie. Avec ces notations, l'expression (3) se met
sous la forme
(5)
La matrice d'inertie étant réelle et symétrique, il est possible de la diagonaliser par
un changement de base. Cette base est appelée base principale d'inertie. Ses axes
sont appelés axes principaux d'inertie. Les termes diagonaux h li eth sont les
moments principaux d'inertie. Dans cette base, la matrice d'inertie devient
J,J
(6)
Notant ë 1 les vecteurs unitaires portés par les axes principaux d'inertie, il vient
(7)
On voit que les vecteurs ë 1 sont les vecteurs propres de l'opérateur d'inertie et
que les moments d'inertie Ij en sont les valeurs propres. Lorsqu'un solide est
quelconque, la recherche de la base principale d'inertie est compliquée. Par contre
elle est aisée lorsqu'il y a des symétries.
Supposons qu'il y ait un plan de symétrie matérielle et choisissons le comme le
plan Oxy, Alors le calcul des termes lxz fournit zéro car les z sont symétriquement
répartis de part et d'autre de ce plan. Ainsi, tout axe perpendiculaire à un plan de
symétrie est axe principal d'inertie.
On montrerait de même que tout axe de symétrie est axe principal d'inertie.
Ainsi de manière générale, tout trièdre trirectangle dont deux de ses plans sont
plans de symétrie est un trièdre principal d'inertie.
Puisque le barycentre d'un solide se trouve également à l'intersection des plans de
symétries, le calcul du moment d'inertie par rapport à un axe passant par un point
quelconque 0 se fera en utilisant le théorème de Huygens Schteiner.
2. 7. Exemples de calculs des moments d'inertie
- Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle m située à une distance d d'un axe
de rotation vaut
Physique des systèmes complexes
lxy=lyx='Lm 1 x 1 y 1 lyz=lzy=Lmfyjzj lxz=lzx=Lmfxjzi
(4b)
j
j
j
soit encore
(4c)
Les termes diagonaux de cette matrice sont appelés moments d'inertie et les termes non diagonaux produits d'inertie. Avec ces notations, l'expression (3) se met
sous la forme
(5)
La matrice d'inertie étant réelle et symétrique, il est possible de la diagonaliser par
un changement de base. Cette base est appelée base principale d'inertie. Ses axes
sont appelés axes principaux d'inertie. Les termes diagonaux h li eth sont les
moments principaux d'inertie. Dans cette base, la matrice d'inertie devient
J,J
(6)
Notant ë 1 les vecteurs unitaires portés par les axes principaux d'inertie, il vient
(7)
On voit que les vecteurs ë 1 sont les vecteurs propres de l'opérateur d'inertie et
que les moments d'inertie Ij en sont les valeurs propres. Lorsqu'un solide est
quelconque, la recherche de la base principale d'inertie est compliquée. Par contre
elle est aisée lorsqu'il y a des symétries.
Supposons qu'il y ait un plan de symétrie matérielle et choisissons le comme le
plan Oxy, Alors le calcul des termes lxz fournit zéro car les z sont symétriquement
répartis de part et d'autre de ce plan. Ainsi, tout axe perpendiculaire à un plan de
symétrie est axe principal d'inertie.
On montrerait de même que tout axe de symétrie est axe principal d'inertie.
Ainsi de manière générale, tout trièdre trirectangle dont deux de ses plans sont
plans de symétrie est un trièdre principal d'inertie.
Puisque le barycentre d'un solide se trouve également à l'intersection des plans de
symétries, le calcul du moment d'inertie par rapport à un axe passant par un point
quelconque 0 se fera en utilisant le théorème de Huygens Schteiner.
2. 7. Exemples de calculs des moments d'inertie
- Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle m située à une distance d d'un axe
de rotation vaut