IV. Le solide supposé indéformable
133
1 2 1
2
Ec =1Mvc +21rnw
(4)
2.5. Le théorème de Huygens Schteiner
Supposons qu'un solide en mouvement dans un référentiel R possède un point 0
fixe. Profitons de cette situation pour choisir l'origine du référentiel en ce point.
Ainsi, tout point A1j du solide possède un mouvement de rotation instantanée autour du point O. Soit LI l'axe de rotation passant par O. L'expression §2.4-(4) reste
toujours valable, mais, puisque le centre de masse est lui-même en rotation autour
de l'axe LI, celle-ci peut également s'écrire
où d est la distance qui sépare le centre de masse de l'axe de rotation. Le moment
d'inertie lotJ d'un solide en rotation autour d'un axe LI passant par un point 0 est
égal à la somme du moment d'inertie lctJ du solide par rapport à un axe parallèle à
LI mais passant par le barycentre et du moment d'inertie par rapport à LI, d'une
masse M concentrée au barycentre du solide
(2)
2.6. Le tenseur d'inertie
Les résultats du paragraphe précédent suggèrent de définir le moment d'inertie
d'un solide constitué de points matériels de masses mj par rapport à un axe f.,,
quelconque par la quantité positive suivante
Ill= L mjdJ
(1)
j
où dj est la distance qui sépare le point A1j de l'axe ft.,,. Choisissons un repère R
dont l'origine 0 est située en un point de l'axe LI (figure 5). Si ü est un vecteur
unitaire de composantes Ux, Uy, Uz porté par l'axe, la distance dj séparant tout point
A1j de l'axe est telle que
2
- - - 2
2
2
2
dj =(uxOMj) =(uyzj-UzYj) +(uzXj-uxzj) +(UxYj -uyxj) (2)
En développant (2) il vient
10/:l = L mj[u;(yJ +zj)+u~(xj +zj)+uICxJ +yj) ...
j
-2uyUzYjZj-2uxUzXjZj-2uxUyXjYi]
(3)
Cette forme suggère d'introduire un opérateur qui dans la base Oxyz est représenté par une matrice dont les composantes sont
lxx = L mj(Y] +z]) lyy = L mj(x] +z]) lzz = L mj(x] +y]) (4a)
j
j
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1 2 1
2
Ec =1Mvc +21rnw
(4)
2.5. Le théorème de Huygens Schteiner
Supposons qu'un solide en mouvement dans un référentiel R possède un point 0
fixe. Profitons de cette situation pour choisir l'origine du référentiel en ce point.
Ainsi, tout point A1j du solide possède un mouvement de rotation instantanée autour du point O. Soit LI l'axe de rotation passant par O. L'expression §2.4-(4) reste
toujours valable, mais, puisque le centre de masse est lui-même en rotation autour
de l'axe LI, celle-ci peut également s'écrire
où d est la distance qui sépare le centre de masse de l'axe de rotation. Le moment
d'inertie lotJ d'un solide en rotation autour d'un axe LI passant par un point 0 est
égal à la somme du moment d'inertie lctJ du solide par rapport à un axe parallèle à
LI mais passant par le barycentre et du moment d'inertie par rapport à LI, d'une
masse M concentrée au barycentre du solide
(2)
2.6. Le tenseur d'inertie
Les résultats du paragraphe précédent suggèrent de définir le moment d'inertie
d'un solide constitué de points matériels de masses mj par rapport à un axe f.,,
quelconque par la quantité positive suivante
Ill= L mjdJ
(1)
j
où dj est la distance qui sépare le point A1j de l'axe ft.,,. Choisissons un repère R
dont l'origine 0 est située en un point de l'axe LI (figure 5). Si ü est un vecteur
unitaire de composantes Ux, Uy, Uz porté par l'axe, la distance dj séparant tout point
A1j de l'axe est telle que
2
- - - 2
2
2
2
dj =(uxOMj) =(uyzj-UzYj) +(uzXj-uxzj) +(UxYj -uyxj) (2)
En développant (2) il vient
10/:l = L mj[u;(yJ +zj)+u~(xj +zj)+uICxJ +yj) ...
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-2uyUzYjZj-2uxUzXjZj-2uxUyXjYi]
(3)
Cette forme suggère d'introduire un opérateur qui dans la base Oxyz est représenté par une matrice dont les composantes sont
lxx = L mj(Y] +z]) lyy = L mj(x] +z]) lzz = L mj(x] +y]) (4a)
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