IV. Le solide supposé indéformable
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Mais le terme entre parenthèses correspond, par définition du centre de masse, au
vecteur Cë = 0 . Il ne reste que
L 0 =OCxP+Lc
(2)
Le moment cinétique d'un solide dans un référentiel Rest la somme du moment
cinétique de son centre de masse affecté de la masse totale et de son moment cinétique dans R *. Le moment cinétique par rapport au centre de masse vaut
Le= L CMj xmjv; = L CMj xmj(iOxCMj)
(3)
j
j
Or CM j = CH j + H j M j où Hj est le point obtenu en projetant le point Mj sur
l'axe de rotation LI (voir fig.S). Ainsi
Le= L CHj xmj(iOxHMj)+HjMj xmj(iOxHMj)
(4)
j
En utilisant les propriétés du double produit vectoriel, il vient
Le= L c~ xmj(wxHjMj)+HjMj xmj(wxHjMj)=
j
L mj[OJ.(C~.HjMj )-HjMj.(OJ.C~ )+mj[OJ.(HjMjHjMj )-HM_j.(OJ.HjMj)
j
qui, compte tenu des directions des différents vecteurs, se réduit à
-
- - 2
-
=
Le =w:L mj(HjMj) - L mjHjMj(w.CMj)=Ic,11 iO (Sa)
j
j
Chaque composante du vecteur Le est une combinaison linéaire des composantes
du vecteur rotation iO. C'est pour cela que nous avons introduit la matrice
d'inertie ICA.. Cette expression montre que de manière générale le moment cinétique n'est pas parallèle au vecteur rotation. Cependant, si l'axe de rotation est
porté par un axe de symétrie du solide, alors le dernier terme de (Sa) s'annule et il
vient plus simplement
-
- 2
Le =iOL mj(HjMj) =lc,11i0
(Sb)
j
La quantité positive Ic.1 est appelée moment d'inertie du solide par rapport à l'axe
LI passant par C
Ic11 = L mjjHjMjj
2 = L mjdJ
j
j
(6a)
Dans le cas d'un système continu décrit par la masse volumique p(r), l'expression
du moment d'inertie devient