On obtient
IV. Le solide supposé indéformable
0
' ' '
e
z
Figure 1.
fi/ 2
Mzc=27rR 3 a f sinBcosBdB=trR. 3 a
0
D'autre part, la masse Mvaut a27rR 2 • Ainsi,
zc = R/2
- Associativité du barycentre
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Si l'on note Ck le barycentre de divers systèmes matériels Sk, deux à deux sans
élément commun, alors le barycentre de la réunion des Sk est celui des Ck affectés
des masses Mk.
Par exemple
a) Soient A1, A2 et A1 les sommets d'un triangle où sont situées trois masses égales
m. On peut calculer le centre de gravité des masses m2 et m3 qui se trouve entre A2
et Â3. Soit M ce point qui correspond à l'intersection de la médiane du triangle
issue de A1. Tout se passe comme si une masse 2m était située en ce point. Le barycentre de l'ensemble est donc celui d'une masse men A1 et d'une masse 2m en
M soit un point qui se trouve au deux tiers de A1M. Ce point est le point
d'intersection des médianes.
b) Pour trouver le centre d'inertie de l'ensemble formé d'un cône de masse M1
surmonté d'une demi sphère de masse M2, il suffit de trouver le centre de masse
des centres de masse C1 et C2• Pour cela, on combine les deux barycentres ce qui
donne, si l'on choisit l'origine au somment du cône
zc =
1 (Mc 3h +Ms(h+ R)J
Mc +Ms
4
2
c) Barycentre d'un solide plan circulaire percé d'un trou circulaire
Le centre de masse se situe sur l'axe des deux cercles. En utilisant la loi
d'associativité, le barycentre 0 du cercle complet (situé en son centre) se calcule
en combinant le barycentre 0 1 du cercle remplaçant le trou (situé en son centre) et
le barycentre du cercle troué G situé sur l'axe 001.