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Physique des systèmes complexes
où M. est la masse totale du système. En utilisant la fonction de distribution de
Dirac, Cette expression peut également s'écrire
Jf J rp(r)d 3 r
OC=- 1 JfJrim 1 ô(r-r 1 )d 3 r=- 1 Jffrp(r)d 3 r= fJf _ 3 (4)
M V
J
M V
p(r )d r
V
La dimension finie des solides usuels est telle que leurs points matériels, lorsqu'ils
sont soumis à un champ de pesanteur, subissent la même accélération g. Dans ce
cas, le barycentre s'identifie au centre de gravité.
- Calcul des barycentres, utilisation des symétries
Si un système homogène possède un élément de symétrie matérielle, ce dernier
contient le centre de masse.
Par exemple
a) Le barycentre d'une sphère homogène est le centre de la sphère.
b) Cône plein homogène de demi angle au sommet y.
Sa masse est donnée par
h
ztgy
h
[ 2 lztgy
M = J pdV = p J dzrdrdB = p27rJ dz J rdr = p27rJ dz !___
V
V
0
0
0
2 o
h
m 2.,i,3
= pmg 2 rJ z 2 dz = ~p~g~'-"
0
3
Son axe est un axe de symétrie sur lequel est situé le centre d'inertie. Ainsi
h
ztgy
Mzc = J zpdV = p J zdzrdrdB = p27r J zdz J rdr
V
V
0
0
h
m 2.,i,4
= pmg 2 r J z 3 dz = ~p--"g----'-'-"
0
4
d'où
3h
zc=4
c) Demi sphère creuse de rayon R et de masse surfacique (]':
Le centre de gravité se trouve toujours sur l'axe de symétrie Oz.
Mzc = J Z(]'dS
s
Avec z = RcosBet dS = 2JrR 2 sinBdB