III. Thermodynamique des processus irréversibles
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-Exemple:
Imaginons par exemple un milieu semi-infini muni des conditions limites suivantes
t = 0 pour z > 0 n = 0
(4)
t > 0 pour z = 0 n = no
Effectuons d'autre part la transformation de Laplace par rapport au temps de
l'équation de Fick. Il vient, compte tenu des conditions initiales
d2sn(s) = n(O) + D-!J: = D-!J:
dz
dz
dont les solutions sont de la forme
(5)
(6)
Cette fonction doit rester finie lorsque z tend vers l'infini, ce qui implique B = O.
D'autre part, en z = 0, on a n(t,O) = n0• Pour déterminer le coefficient A intervenant dans l'expression (6) considérons alors la transformation de Laplace de
n(t,z=O). Il vient
OO
OO
f n(t,O)e-st dt= f noe-st dt= no = n(s,O) =A
0
0
s
(7)
En introduisant ce résultat dans (6), on obtient alors
n(s,z) = :o ex{-Jiz)
(8)
Il ne reste plus qu'à retrouver la fonction source dont l'image est donnée par
l'expression (8), à l'aide des tables donnant les transformées de Laplace des fonctions simples. En particulier
si f(s) = ~exp(-a.fs) alors f(t) = erJ{ 2 1Jt)
(9)
En appliquant ce résultat à l'équation (8), on trouve directement
n(t,z) = noerfc(i§,)
(10)
3.3.2. Quelques exemples courants
Par des méthodes analogues à celles qui ont été utilisées précédemment, on montre que la diffusion dans un plan, à partir d'une source ponctuelle de concentration
C, telle que