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Physique des systèmes complexes
concentration des impuretés est suffisamment faible, on conçoit que cette marche
au hasard soit fort peu affectée par le fait que, de temps en temps l'un des sites de
saut possibles soit déjà occupé par une impureté. Ainsi, dans de tels cas, le coefficient de diffusion D est indépendant den et donc de la position. On montrera qu'il
en est ainsi dans des exemples particuliers, mais à cette étape de notre démarche,
il n'existe aucune preuve de cette affirmation excepté l'interprétation par la« marche au hasard » du phénomène de diffusion. Dans le cas général, les concentrations d'impuretés pouvant varier sur de larges plages de valeurs, il sera nécessaire
de tenir compte de la dépendance éventuelle du coefficient de diffusion et de la
concentration.
Dans le cas particulier où le coefficient de diffusion D est indépendant de la densité locale net donc de l'espace, il vient:
&
- =D!::.n
à
(6)
Cette équation est l'équation de diffusion de Fick, valable dans le cas d'une solution diluée de particules étrangères.
3.3. Méthodes de résolution de l'équation de Fick
3.3.1 Utilisation de la transformation de Laplace
De manière générale, la résolution de l'équation de Fick n'est pas simple et ne
peut se faire analytiquement que dans des cas particuliers. Cependant, l'utilisation
de la transformation de Laplace permet de résoudre l'équation de Fick dans certains cas simples qui servent ultérieurement de point de départ à l'étude de situations plus complexes.
Soit une fonction/(!). On appelle transformée de Laplace, la fonction /(s) telle
que
CO
f(s)= J f(t)e-s 1 dt
0
(!)
Si la fonction image existe, alors on peut calculer aisément la transformée de Laplace des différentes dérivées de la fonction source f(t). Par exemple, en multipliant par s !'expression ( 1 ), on trouve
CO
CO
d( -S()
[
fo CO
s](s) = J f (t)se -st dt= - J f (t) e dt= - f(t)e-st .b + J f' (t)e-st dt (2)
0
0
dt
0
Ce dernier calcul montre que la transformée de Laplace de la dérivée f'(t) peut
s'exprimer en fonction de la transformée de Laplace de f(t) et de la valeur de la
fonction en t=O.
CO
J f' (t)e -st dt= s](s) - f(O)
0
(3)
Physique des systèmes complexes
concentration des impuretés est suffisamment faible, on conçoit que cette marche
au hasard soit fort peu affectée par le fait que, de temps en temps l'un des sites de
saut possibles soit déjà occupé par une impureté. Ainsi, dans de tels cas, le coefficient de diffusion D est indépendant den et donc de la position. On montrera qu'il
en est ainsi dans des exemples particuliers, mais à cette étape de notre démarche,
il n'existe aucune preuve de cette affirmation excepté l'interprétation par la« marche au hasard » du phénomène de diffusion. Dans le cas général, les concentrations d'impuretés pouvant varier sur de larges plages de valeurs, il sera nécessaire
de tenir compte de la dépendance éventuelle du coefficient de diffusion et de la
concentration.
Dans le cas particulier où le coefficient de diffusion D est indépendant de la densité locale net donc de l'espace, il vient:
&
- =D!::.n
à
(6)
Cette équation est l'équation de diffusion de Fick, valable dans le cas d'une solution diluée de particules étrangères.
3.3. Méthodes de résolution de l'équation de Fick
3.3.1 Utilisation de la transformation de Laplace
De manière générale, la résolution de l'équation de Fick n'est pas simple et ne
peut se faire analytiquement que dans des cas particuliers. Cependant, l'utilisation
de la transformation de Laplace permet de résoudre l'équation de Fick dans certains cas simples qui servent ultérieurement de point de départ à l'étude de situations plus complexes.
Soit une fonction/(!). On appelle transformée de Laplace, la fonction /(s) telle
que
CO
f(s)= J f(t)e-s 1 dt
0
(!)
Si la fonction image existe, alors on peut calculer aisément la transformée de Laplace des différentes dérivées de la fonction source f(t). Par exemple, en multipliant par s !'expression ( 1 ), on trouve
CO
CO
d( -S()
[
fo CO
s](s) = J f (t)se -st dt= - J f (t) e dt= - f(t)e-st .b + J f' (t)e-st dt (2)
0
0
dt
0
Ce dernier calcul montre que la transformée de Laplace de la dérivée f'(t) peut
s'exprimer en fonction de la transformée de Laplace de f(t) et de la valeur de la
fonction en t=O.
CO
J f' (t)e -st dt= s](s) - f(O)
0
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