III. Thermodynamique des processus irréversibles
at = â; = -div(lu) = -div[Â(T)grad(T)]
à
à
99
(4)
où q est la densité d'énergie calorifique stockée en un point donné. Formellement,
le coefficient Â(T) dépend de la température. Aussi, la divergence apparaissant
dans l'équation (4) est-elle rigoureusement donnée par
div[Âgrad(T)] = o [grad(T)] 2 + ÂAT
ôl'
(5)
Cependant, afin de rester dans le cadre de la réponse linéaire, il convient de négliger le terme où le gradient de la température intervient au carré, puisque celui-ci
est proportionnel au carré de la force thermodynamique déjà négligé dans
l'expression de la densité de courant. Enfin, la densité d'énergie calorifique q peut
être exprimée à l'aide du coefficient de chaleur massique Cet de la densité locale
p, soit encore q = pCT. A l'aide de ces notations, l'expression (4) s'écrit maintenant
ôl'
pC-=Â(T)AT
à
(6)
Cette dernière expression constitue l'équation de Fourier régissant la propagation
de la chaleur sous l'effet des champs de température d'un matériau. La quantité Â
représente la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas de matériaux anisotropes, il est facile de montrer que cette dernière
équation devient
(7)
où les différents termes Âx, ~ et Âz sont les composantes du tenseur de conductivité du matériau anisotrope.
Enfin, l'expression de la densité de création d'entropie associée au flux de chaleur
est donnée par
-
-
2
Â(T)
2
crs(r,t)=Ju.Fu =Luu[grad(l/T)] = - 2 [grad(T)]
(8)
T
L'équation de Fourier est l'équation fondamentale permettant l'étude des phénomènes de conduction thermique aussi bien dans les cas dépendants du temps que
dans les cas stationnaires.
2.2.2. Conduction en régime permanent
Nous nous intéressons maintenant au cas des régimes permanents où les différents
termes ne dépendent plus explicitement du temps. Dans ce cas, l'équation à résoudre se restreint à
AT=O
(l)
C'est l'équation harmonique dont les solutions ne dépendent que des conditions
limites imposées au système. A titre d'exemple, nous considérons un mur plan de
at = â; = -div(lu) = -div[Â(T)grad(T)]
à
à
99
(4)
où q est la densité d'énergie calorifique stockée en un point donné. Formellement,
le coefficient Â(T) dépend de la température. Aussi, la divergence apparaissant
dans l'équation (4) est-elle rigoureusement donnée par
div[Âgrad(T)] = o [grad(T)] 2 + ÂAT
ôl'
(5)
Cependant, afin de rester dans le cadre de la réponse linéaire, il convient de négliger le terme où le gradient de la température intervient au carré, puisque celui-ci
est proportionnel au carré de la force thermodynamique déjà négligé dans
l'expression de la densité de courant. Enfin, la densité d'énergie calorifique q peut
être exprimée à l'aide du coefficient de chaleur massique Cet de la densité locale
p, soit encore q = pCT. A l'aide de ces notations, l'expression (4) s'écrit maintenant
ôl'
pC-=Â(T)AT
à
(6)
Cette dernière expression constitue l'équation de Fourier régissant la propagation
de la chaleur sous l'effet des champs de température d'un matériau. La quantité Â
représente la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas de matériaux anisotropes, il est facile de montrer que cette dernière
équation devient
(7)
où les différents termes Âx, ~ et Âz sont les composantes du tenseur de conductivité du matériau anisotrope.
Enfin, l'expression de la densité de création d'entropie associée au flux de chaleur
est donnée par
-
-
2
Â(T)
2
crs(r,t)=Ju.Fu =Luu[grad(l/T)] = - 2 [grad(T)]
(8)
T
L'équation de Fourier est l'équation fondamentale permettant l'étude des phénomènes de conduction thermique aussi bien dans les cas dépendants du temps que
dans les cas stationnaires.
2.2.2. Conduction en régime permanent
Nous nous intéressons maintenant au cas des régimes permanents où les différents
termes ne dépendent plus explicitement du temps. Dans ce cas, l'équation à résoudre se restreint à
AT=O
(l)
C'est l'équation harmonique dont les solutions ne dépendent que des conditions
limites imposées au système. A titre d'exemple, nous considérons un mur plan de