Ill. Thermodynamique des processus irréversibles
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di ôi -
d(-)
-=-+ve.gra x
dt à
(2)
où Ve est la vitesse d'entraînement provoquée par le mouvement de convection. Or,
la vitesse d'entraînement Ve correspond bien évidemment à la vitesse de la masse
volumique p, si bien qu'en appliquant (l) à la masse volumique, il vient
(3)
En multipliant (2) par pet (3) par x, puis en additionnant (astucieusement), on
obtient
di
ôi - op -
d(-) -d· < - ) & d" ( - )
p-=p-+x-+pve.gra x +x IV pve =-+ IV XVe
dt
à
à
à
(4)
En remplaçant les quantités & /à par leurs expressions (1 ), on obtient enfin pour
l'entropie puis, pour toute autre densité spécifique
dS
d" [ (- )]
d" (-:*)
p- = 0-s - IV S Vs - Ve = 0-s - IV J s
dt
(5a)
di
d" [ (- )]
d" (-:*)
p-=-IVXVx-Ve =-IVJx
dt
(5b)
où l'on a introduit les densités de courant effectives J; = x(vx -îie) tenant compte de l'entraînement associé aux phénomènes de convection. En introduisant finalement ces expressions dans l'équation § l .2-(7), il vient ensuite
o-s =div(];)-2;,Z1div(]j)=div(J;-2;,z1Jj)+ 2;,Jj.grad(Z1) (6)
J
J
J
Cependant, puisque les grandeurs intensives sont uniformes sur l'étendue de chaque volume clr, les variations des grandeurs extensives ne peuvent provenir que
d'échanges avec l'extérieur de chaque volume clr donc du flux des différentes
densités de courant Jj à travers la paroi S limitant le volume clr. Compte tenu de
l'expression § 1.2-(6), ceci implique
f ;;.ds = I z 1 f Jj.ds
(7)
s
j
s
Cette dernière relation implique que le terme entre parenthèses de l'équation ( 6)
est identiquement nul. Si l'on définit les forces thermodynamiques généralisées
par les relations
Fu = -grad(l/T) et ft 1 = -grad(Z 1 /T)
(8)
alors, on obtient l'expression de la source d'entropie