III. Thermodynamique des processus irréversibles
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d(OU) = ô(OU) d(ôS) + L ôô(U) d(t5X.)
ô(ôS)
j ô(t5X1)
}
(1)
Les dérivées partielles apparaissant dans cette expression correspondent aux définitions classiques des grandeurs intensives énergétiques définies sur les systèmes
macroscopiques, mais elles dépendent maintenant de l'instant t et de la position r
où se trouve le volume cf r considéré. Ainsi
ô( OU) = T(r t) et ôô(U) = Y· (r t)
ô(ôS)
'
ôô(X1)
1 '
En définissant les « grandeurs volumiques »
ou
u(r,t) = - 3 -
d r
ôS
s(r,t) = - 3 -
d r
l'équation d'Euler § 1.1-( 4) devient
s=:LZ 1 x 1
j
ôX·
et x 1 (r,t)=---jd r
(2)
(3)
(4)
où les grandeurs intensives entropiques sont maintenant des grandeurs locales
Z(r,t). On peut également transformer l'expression (4) en introduisant les densités
spécifiques définies par
où
est la masse volumique. Ceci donne
X·
-
}
X · = -
1
p
s = LZ/iJ soit également dS = LZJdXJ
j
j
En multipliant (6) par la quantité p/dt, on obtient finalement
dS
di)
p dt= ~ZJPd(
}
1.3. L'équation de continuité
(5)
(6)
(7)
De manière générale, les grandeurs extensives respectent « l'équation de continuité » que l'on peut établir de la façon suivante. Une grandeur extensive quelconque
X, contenue dans un volume macroscopique V de l'espace ne peut varier dans le
temps que i) s'il existe des processus de création et/ou de destruction de cette
grandeur au sein du volume V ainsi que ii) des flux de cette grandeur à travers les
parois limitant le volume V. On peut décrire les processus de création et de destruction en tout point du volume par les quantités ax(r,t) et Rx(r,t) représen-